一般逆行列(正則部分行列による表示)

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C6

A を m×n 行列とする。

A を次のように分割する。



11 は p×p 行列であるとする。

rankA=p であるとする。

rankA11=p であるとする。

このとき、A22=A2111−112 である。

証明

いま、p=rankA=p+rank(A2111−112)である。(※B14)

よって、rank(A22−A2111−112)=0 である。

よって、A22−A2111−112=O である。

C7

A を m×n 行列とする。

A を次のように分割する。



11 は p×p 行列であるとする。

rankA=p であるとする。

rankA11=p であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) n×m 行列 G は、A の一般逆行列である。

(2) ある行列 X、Y、Z が存在して、次のように表せる。

補足

つまり、A の一般逆行列の1つは次のように表せる。

証明

(1)を仮定する。

いま、AGA=A である。

C6より、



よって、



また、



よって、B9 より、



整理すると、



これで(2)が示された。

上記の議論を逆に辿れば、(2)⇒(1)が示される。

C8

B を m×n 行列とする。

G を n×m 行列とする。

A を m×m 正則行列とする。

C を n×n 正則行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) G は ABC の一般逆行列である。

(2) ある(Bの)一般逆行列 H が存在して、G=C−1HA−1 となる。

補足

つまり、次は同値である。

(*1) G は AB の一般逆行列である。

(*2) ある(Bの)一般逆行列 H が存在して、G=HA−1 となる。

また、次は同値である。

(*3) G は BC の一般逆行列である。

(*4) ある(Bの)一般逆行列 H に対して G=C−1H である。

以上のことは、定理において、C=I、A=I とおけば分かる。

証明

(1)を仮定する。

いま、ABCGABC=ABC である。(※定義:一般逆行列)

よって、BCGAB=B である。

そこで、H=CGA とおく。

いま、H は B の一般逆行列である。

また、G=C−1HA−1 である。

以上の議論を逆に例えば、(2)⇒(1)が示される。

定義 ( 置換行列 )

単位行列の列を並べ替えた行列を 『 置換行列 』 という。

よく知られているように、置換行列を行列に掛けることで、その行列の行や列を交換できる。

定義 ( 直交行列 )

A=AA=I を満たす行列 A を 『 直交行列 』 という。

つまり、A=A−1 である。

C9

置換行列は直交行列である。

証明

明らかである。

C10

A を m×n 行列とする。

rankA=r とする。

、・・・、i を、A の1次独立な行の番号とする。

、・・・、j を、A の1次独立な列の番号とする。

P を、最初の r 個の行として I の第 i、・・・、i 行をもつ m×m 置換行列とする。

Q を、最初の r 個の列として I の第 j、・・・、j 行をもつ n×n 置換行列とする。

B=PAQ とおく。

次のように分割する。



ただし、B11 は r×r 行列であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) n×m 行列 G は、A の一般逆行列である。

(2) ある X、Y、Z が存在して、次を満たす。

証明

(1)を仮定する。

いま、P、Q は直交行列である。(※C9)

よって、A=PPAQQ=PBQ である。

いま、ある(Bの)一般逆行列 H が存在して、G=(Q−1H(P−1=QHP である。(※C8)

また、ある X、Y、Z が存在して、次を満たす。(※C7)



上記の議論を逆に辿れば、(2)⇒(1)が示される。