一般逆行列(特定の一般逆行列による表示)

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C11

A を m×n 行列とする。

G を A の一般逆行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) n×m行列 G は、A の一般逆行列である。

(2) ある n×m 行列 Z が存在して、G=G+Z−GAZAG となる。

(3) ある n×m 行列 X、Y が存在して、G=G+(I−GA)X+Y(I−AG)となる。

補足

X、Y、Z が異なっていても、G が同じ一般逆行列になることもある。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、G=G+(G−G)−GA(G−G)AG である。

Z=G−G とおく。

いま、G=G+Z−GAZAG である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

(1)⇔(3)の証明

(1)を仮定する。

いま、G=G+(I−GA)GAG+(G−G)(E−AG)である。

X=GAG とおく。

Y=G−G とおく。

いま、G=G+(I−GA)X+Y(I−AG)である。

一方、(3)⇒(1)は明らかである。