一般逆行列のrank

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C12

A を任意の行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意のスカラー k ( ただし k≠0 ) に対し、(1/k)A は、kA の一般逆行列である。

(2) −A は −A の一般逆行列である。

(3) (A は A の一般逆行列である。

(4) A が対称行列の場合、(A は A の一般逆行列である。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

(A=(AAA)=A である。

(4)の証明

(3)より明らかである。

C13

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

C を q×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) C(B)⊂C(A)

(2) B=AA

また、次は同値である。

(3) R(C)⊂R(A)

(4) C=CA

補足

例えば、p=1の場合、(1)⇔(2)は次の同値性を意味する。

(*1) x∈C(A)

(*2) x=AA

同様に、q=1の場合、(3)⇔(4)は次の同値性を意味する。

(*3) y∈R(A)

(*4) y=y

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、ある F が存在して、B=AF となる。(※A1)

よって、B=AAAF=AAB である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。(※A1)

(3)⇔(4)の証明

上と同様である。

参考

次は同値である。(※B1、C13)

(1) AX=B は無矛盾である。

(2) AAB=B

C14

任意の行列 A に対し、次が成り立つ。

(1) rank(AA)=rank(AA)=rankA

(2) rank(A)≧rankA

(1)の証明

いま、C(AA)⊂C(A)である。(※A1)

一方、A=(AA)A である。

よって、C(A)⊂C(AA)である。

よって、C(A)=C(AA)である。

同様に、R(A)=R(AA)が示される。

よって、rankA=C(AA)=R(AA)である。

(2)の証明

rank(A)≧rank(AA)=rankA である。(※A1)