一般逆行列の選択に対する不変性

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C15

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

C を m×q 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) C(C)⊂C(A)かつ R(B)⊂R(A)ならば、BAC は A の選択に不変である。

(2) BAC が A の選択に対して不変かつ C≠O ならば、R(B)⊂R(A)である。

(3) BAC が A の選択に対して不変かつ B≠O ならば、C(C)⊂C(A)である。

(1)の証明

いま、ある行列 L、R が存在して、B=LA、C=AR となる。(※A1)

よって、BAC=LAAAR=LAR である。

つまり、BAC は A の選択に対して不変である。

(2)の証明

G を A の特定の選択とする。

いま、任意の X、Y に対し、BGC=B(G+(I−GA)Y+X(I−AG))C である。(※C11)

つまり、任意の X、Y に対し、B(I−GA)YC+BX(I−AG)C=O である。

いま、任意の Y に対し、B(I−GA)YC=O である。(★1)

また、任意の X に対し、BX(I−AG)C=O である。(★2)

いま、C≠O と仮定している。

つまり、C は O でない列 c をもつ。

Y を適切に選べば、Yc=u となる。( i=1、・・・、n )

ただし、u は単位行列 I の第 i 行である。

よって、(★1)より、B(E−GA)の第 i 行は 0 である。

つまり、B(I−GA)=0 である。

C16

A を q×p 行列とする。

B を p×n 行列とする。

C を m×q 行列とする。

rank(CAB)=rankC=rankB であるとする。

このとき、B(CAB)C は一般逆行列(CAB) の選択に対して不変である。

証明

いま、C(C)=C(CAB)である。(※A7)

また、R(B)=R(CAB)である。(※A7)

よって、B(CAB)C は(CAB) の選択に対して不変である。(※C15)