コレスキ分解(正定値行列)

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D44 ( コレスキ分解 : 対称正定値行列 )

A を n×n 対称正定値行列とする。

いま、A は一意に UDU 分解をもつ。(※D43)

このとき、次が成り立つ。

(1) 正の対角成分をもつ上三角行列 T が一意に存在して、A=TT となる。

(2) これは T=D1/2U と表せる。

ただし、D1/2=diag(d1/2、・・・、d1/2)である。

証明

いま、D1/2U は上三角である。

また、D1/2U の対角成分は d1/2、・・・、d1/2 である。

また、A=(D1/2U)1/2U である。

そこで、T=D1/2U とおけばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

T=(tij)を、正の対角成分をもつ上三角行列とする。

A=TT であるとする。

=diag(t11、・・・、tnn)とおく。

=diag(t11、・・・、tnn−1T とおく。

明らかに、U=diag(t11−1、・・・、tnn−1)T である。

いま、U は単位上三角行列である。

また、A=U である。

これは、A の UDU 分解である。

よって、D=D である。(※D43)

よって、tii=d1/2 である。

よって、U=diag(t11−1、・・・、tnn−1)D1/2U=U である。

よって、T=D1/2=D1/2U である。