コレスキ分解(非負定値行列)

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D45 ( 対称非負定値行列の対角化 )

A を n×n 対称非負定値行列とする。

このとき、ある単位上三角行列 U が存在して、UAU が対角行列となる。

証明

これの証明は省略する。

D46

A を n×n 対称行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は非負定値行列である。

(2) A は UDU 分解をもつ。また、任意のこの分解に対して D の対角成分は非負である。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある単位上三角行列 T が存在して、D=TAT となる。(※D45)

U=T−1 とおく。

いま、U は単位上三角行列である。

また、A=UDU である。

また、D の対角成分は非負である。(※D18)

(2)⇒(1)は明らかである。(※D18)

D47 ( コレスキ分解 : 対称非負定値行列 )

A を n×n 対称非負定値行列とする。

rankA=r とする。

いま、A は UDU 分解をもつ。(※D46)

また、この D は一意である。(※D38)

このとき、次が成り立つ。

(1) ある上三角行列 T が一意に存在して、A=TT となる。

ただし、T は r 個の正の対角成分をもち、n−r 個の 0 行をもつとする。

(2) T=D1/2U と表せる。

ただし、D1/2diag(d1/2、・・・、d1/2)である。

証明

いま、rankA=r である。

また、rankA=rank(UDU)=rankD である。

よって、D は r 個の 0 でない対角成分をもつ。

つまり、これらは正である。(※D46)

また、D の残りの n−r 個の対角成分は 0 に等しい。

いま、D1/2U は上三角行列である。

また、D1/2U の対角成分は、d1/2、・・・、d1/2 である。

また、D1/2U の n−r 個の対角成分は 0 である。

また、A=(D1/21/2U である。

そこで、T=D1/2U とおけばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

T=(tij)を、A=TT を満たす上三角行列とする。

ただし、T は r 個の正の対角成分をもち、n−r 個の0行をもつとする。

を、第 k、・・・、k の対角成分が t、・・・、 t であり、他が 0 である対角行列とする。

、・・・、t を T の第 k、・・・、k 行とする。

を、第 k、・・・、k 行が t−1、・・・、t−1 である単位三角行列とする。

いま、A=t+・・・+t=U である。

これは A の UDU 分解である。

よって、D=D である。(※D38)

よって、k=i、・・・、k=i である。

また、t=d1/2、・・・、t=d1/2 である。

また、U の第 i、・・・、i の行は、U の第 i、・・・、i 行に等しい。

よって、T=D1/2=D1/2U である。