右逆行列、左逆行列

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定義 ( 右逆行列 )

A を m×n 行列とする。

ある n×m 行列 R が存在して、AR=I となるとする。

このとき、R を 『 A の右逆行列 』 という。

定義 ( 左逆行列 )

A を m×n 行列とする。

ある n×m 行列 L が存在して、LA=I となるとする。

このとき、L を 『 A の左逆行列 』 という。

B8 ( 列階行列 ⇔ 左逆行列の存在 )

A を m×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) rankA=m

(2) A は右逆行列をもつ。

また、次は同値である。

(3) rankA=n

(4) A は左逆行列をもつ。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。(※B2)

(2)を仮定する。

いま、ある行列 R が存在して、AR=I である。

よって、rankA≧rankAR=rankI=m である。

一方、明らかに、rankA≦m である。

よって、rankA=m である。

(3)⇔(4)の証明

よく知られているように、rankA=rankA である。

また、次は同値である。

(*1) A は右逆行列をもつ。

(*2) A は左逆行列をもつ。

よって、(1)⇔(2)より、(3)⇔(4)が成り立つ。

B9 ( 最大列階数行列が左、最大行階数行列が右から掛かっているならば外せる )

A、B を m×n 行列とする。

C を p×m 行列とする。

D を n×q 行列とする。

rankC=m とする。

rankD=n とする。

このとき、CAD=CBD ならば A=B である。

証明

いま、C は左逆行列 L をもつ。(※B8)

また、D は右逆行列 R をもつ。(※B8)

よって、A=LCADR=LCBDR=B である。

B10 ( 最大列階数行列を左から掛けても rank は不変、最大行階数行列を右から掛けても rank は不変 )

A を m×n 行列とする。

B を n×p 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) rankA=n ならば、rank(AB)=rankB である。

(2) rankB=n ならば、rank(AB)=rankA である。

補足

つまり、次が成り立つ。

(*1) m=n で、A が正則ならば、rankAB=rankB である。

(*2) n=p で、B が正則ならば、rankAB=rankA である。

(1)の証明

いま、rankA=n である。

よって、A は左逆行列 L をもつ。(※B8)

よって、R(B)=R(IB)=R(LAB)⊂R(AB)である。(※A1)

一方、R(AB)⊂R(B)である。(※A1)

よって、R(AB)=R(B)である。

よって、rank(AB)=rankB である。

(2)の証明

(1)と同様である。

B11

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

C を p×n 行列とする。

A は O でないとする。

rankB=p であるとする。

rankC=p であるとする。

A=BC であるとする。

このとき、rankA=p である。

証明

rankA=rankBC=rankC=p である。(※B10)