1次系(無矛盾⇔両立性)

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定義 ( 最大行階数行列 )

A を m×n 行列とする。

rankA=m であるとする。

このとき、A を 『 最大行階数行列 』 という。

定義 ( 最大列階数行列 )

A を m×n 行列とする。

rankA=n であるとする。

このとき、A を 『 最大列階数行列 』 という。

定義 ( 1次系 )

A を m×n 行列とする。

X を n×p 行列とする。

B を m×p 行列とする。

X の各成分を変数と見なす。

このとき、AX=B を 『 1次系 』 という。

つまり、AX=B は、1次連立方程式を並べたものである。

定義 ( 同次、非同次 )

AX=B を1次系とする。

B=O のとき、この1次系を 『 同次系 』 という。

B≠O のとき、この1次系を 『 非同次系 』 という。

定義 ( 無矛盾 )

1次系が少なくとも1つの解をもつとき、この1次系は 「 無矛盾である 」 という。

1次系が1つも解をもたないとき、この1次系は 「 矛盾である 」 という。

定義 ( 両立 )

AX=B を1次系とする。

任意の行ベクトル k’ ( ただし k’A=O ) に対し、k’B=O であるとする。

( むろん、k は列ベクトルである )

このとき、「 AX=B は両立する 」 という。

つまり、A の行に対して成り立つ任意の1次関係は、B の行に対しても成り立つ。

B1

AX=B を1次系とする。

このとき、次は同値である。

(1) AX=B は無矛盾である。

(2) C(B)⊂C(A)

(3) C(A、B)=C(A)

(4) rank(A、B)=rankA

(1)⇔(2)の証明

明らかである。(※A1)

(2)⇔(3)の証明

明らかである。

(3)⇔(4)の証明

明らかである。

B2

AX=B を1次系とする。

A が最大行階数行列であるならば、AX=B は無矛盾である。

証明

m を A の行数とする。

いま、rankA=m である。

また、rank(A、B)≦m=rankA である。(※ A と B の行数は同じであることに注意)

一方、明らかに、C(A)⊂C(A、B)である。

よって、rankA≦rank(A、B)である。

よって、rankA=rank(A、B)である。

よって、AX=B は無矛盾である。(※B1)

B3 ( 無矛盾 ⇔ 両立 )

AX=B を1次系とする。

このとき、次は同値である。

(1) AX=B は無矛盾である。

(2) AX=B は両立である。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある X が存在して、AX=B となる。

A=O であるとする。

いま、kB=kAX=O である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

a’、・・・、a’ を A の行とする。

b’、・・・、b’ を B の行とする。

( a’X=b が示されれば、AX=B となる。そこで、これを示す )

{ a’、・・・、a’ } を R(A)の基底とする。

( 番号は必要に応じて付け替えればよい )

を、a’、・・・、a’ を並べた行列とする。

を、b’、・・・、b’ を並べた行列とする。

いま、AX=B は無矛盾である。(※B2)

つまり、ある X が存在して、A=B となる。

つまり、任意の i∈{ 1、・・・、p } に対し、a=b が示された。(★1)

i が { 1、・・・、p } に属していない場合を考える。

いま、a1≦j≦pλij と表せる。

よって、a1≦j≦pλij=0 である。

いま、仮定より、AX=B は両立している。

よって、b1≦j≦pλij=0 である。(※定義(両立)の補足)

よって、b1≦j≦pλij である。

よって、a1≦j≦pλij1≦j≦pλij=b である。(★2)

(★1)、(★2)より、任意の i∈{1、・・・、m}に対し、a=b である。

よって、AX=B である。