内積とQR分解

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定義 ( 行列の内積 )

A、B を m×n 行列とする。

A・B=tr(AB)と定義する。

これを 『 A と B の内積 』 という。

定義 ( ノルム )

A を m×n 行列とする。

|| A ||=(A・A)1/2 と定義する。

このとき、|| A || を 『 A のノルム 』 という。

定義 ( 直交 )

A、B を m×n 行列とする。

A・B=0 であるとする。

このとき、「 A と B は直交している」 という。

定義 ( diag )

、・・・、a を成分とする対角行列を diag(a、・・・、a)と表す。

B4 ( シュワルツの不等式 )

任意の行列 A、B に対して|A・B|≦|| A |||| B || が成り立つ。

等号は、B=O あるいは A=kB となる場合のみ成り立つ。

証明

有名な定理である。

証明は省略する。

B5 ( シュミットの直交化 )

{ A、・・・、A } を1次独立な行列の集合とする。

このとき、あるスカラー xij ( i<j )が存在して、次を満たす。



しかも、このような xij は一意に定まる。

また、次の行列は、正規直交系である。

証明

有名な定理である。

証明は省略する。

B6

{ A、・・・、A } を V の正規直交基底とする。

このとき、任意の A∈V は、次のように表せる。

(*) A=(A・A)A+・・・+(A・A)A

証明

A∈V とおく。

いま、A=x+・・・+x と表せる。

また、A・A=x である。

よって、A=(A・A)A+・・・+(A・A)A である。

B7 ( QR分解 )

A=(a、・・・、a)を m×p 行列とする。

rankA=p であるとする。

いま、あるスカラー xij ( i<j ) が一意に存在して、次を満たす。(※B5)



さらに、x11=1、・・・、xpp=1 としておく。

いま、



次のようにおく。



( つまり、X は上三角行列であり、対角成分は1である )

( 明らかに、A=BX である )

また、次のようにおく。



( 明らかに、R は上3角行列であり、対角成分はすべて正である )

このとき、A=QR である。

しかも、この分解は一意である。

証明

明らかである。