rank(A+B)≦rankA+rankB

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A8

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

C を n×p 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) C(A、B)=C(A、B−AC)

(2) rank(A、B)=rank(A、B−AC)

証明

明らかである。

系A8

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

C を p×m 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

A9

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

E を m×q 行列とする。

F を m×r 行列とする。

C(E)⊂C(A)であるとする。(★1)

C(F)⊂C(B)であるとする。(★2)

このとき、次が成り立つ。

(1) C(E、F)⊂C(A、B)

(2) rank(E、F)≦rank(A、B)

とくに、(★1)と(★2)の ⊂ が = ならば、(1)の ⊂ は = であり、(2)の ≦ は = である。

証明

明らかである。

系A9

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

E を q×n 行列とする。

F を r×n 行列とする。

R(E)⊂R(A)であるとする。(★1)

R(F)⊂R(B)であるとする。(★2)

このとき、次が成り立つ。



とくに、(★1)と(★2)の ⊂ が = ならば、(1)の ⊂ は = であり、(2)の ≦ は = である。

証明

明らかである。

A10

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

C を q×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

A11

A、B を m×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、ある行列 C が存在して、A+B=(A、B)C となる。

よって、C(A+B)⊂C(A、B)である。(※A1)

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

(1)と同様である。

(4)の証明

(3)より明らかである。

A12

A、B を m×n 行列とする。

このとき、rank(A+B)≦rankA+rankB である。

証明

明らかである。(※A10、A11)

A13

A、B を m×n 行列とする。

E を m×p 行列とする。

F を q×n 行列とする。

C(B)⊂C(E)であるとする。

R(A)⊂R(F)であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) C(A+B)⊂C(E) ⇔ C(B)⊂C(E)

(2) R(A+B)⊂R(F) ⇔ R(B)⊂R(F)

証明

明らかである。