列空間、行空間

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定義 ( 列空間、行空間 )

A を m×n 行列とする。

A=(a、・・・、a)とおく。

いま、a、・・・、a は A の列である。

また、a、・・・、a は A の行である。

、・・・、a の1次結合全体を C(A)と表す。

、・・・、a の1次結合全体を R(A)と表す。

このとき、C(A)を 『 A の列空間 』 という。

また、R(A)を 『 A の行空間 』 という。

参考

C は 『 column 』 の頭文字である。

R は 『 row 』 の頭文字である。

column は列という意味であり、row は行という意味である。

A1

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) ある n×p 行列 C が存在して、B=AC となる。

(2) C(B)⊂C(A)

証明

明らかである。

簡単に言えば、(1)は B の各列を A の列で生成できることを意味する。

系A1

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) ある p×m 行列 C が存在して、B=CA となる。

(2) R(B)⊂R(A)

証明

明らかである。

簡単に言えば、(1)は B の各行を A の行で生成できることを意味する。

A2

A を m×n 行列とする。

B を n×p 行列とする。

C を n×q 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) C(B)⊂C(C)ならば、C(AB)⊂C(AC)である。

(2) C(B)=C(C)ならば、C(AB)=C(AC)である。

(1)の証明

いま、C(B)⊂C(C)である。

よって、ある行列 P が存在して、B=CP となる。(※A1)

よって、AB=ACP である。

よって、C(AB)⊂C(AC)である。(※A1)

(2)の証明

(1)より、C(B)⊂C(C)ならば、C(AB)⊂C(C)である。

同様に、C(C)⊂C(B)ならば、C(AC)⊂C(AB)である。

よって、C(B)=C(C)ならば、C(AB)=C(AC)である。

系A2

A を m×n 行列とする。

B を p×m 行列とする。

C を q×m 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) R(B)⊂R(C)ならば、R(BA)⊂R(CA)である。

(2) R(B)=R(C)ならば、R(BA)=R(CA)である。

証明

A2 と同様である。

A3

V をベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、dimW=dimV ならば、V=W である。

証明

この定理は有名であろう。

証明は省略する。

A4

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

このとき、C(B)⊂C(A)ならば、rankB≦rankA である。

証明

明らかである。(※S7)

系A4

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

このとき、R(B)⊂R(A)ならば、rankB≦rankA である。

証明

明らかである。(※S7)

A5

A を m×n 行列とする。

B を n×p 行列とする。

このとき、rank(AB)≦rankA かつ rank(AB)≦rankB である。

証明

明らかである。(※A4、A1)

A6

A を m×n 行列とする。

B を m×p 行列とする。

このとき、C(B)⊂C(A)かつ rankB=rankA ならば、C(B)=C(A)である。

証明

明らかである。(※A3)

系A6

A を m×n 行列とする。

B を p×n 行列とする。

このとき、R(B)⊂R(A)かつ rankB=rankA ならば、R(B)=R(A)である。

証明

明らかである。(※A3)

A7

A を m×n 行列とする。

B を n×p 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) rank(AB)=rankA ならば、C(AB)=C(A)である。

(2) rank(AB)=rankB ならば、R(AB)=R(B)である。

(1)の証明

明らかである。(※A1、A6)

(2)の証明

明らかである。(※系A1、系A6)