ブロック三角行列の1次系

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定義 ( ブロック三角行列 )

A を n×n 行列とする。

次のように分割する。



ただし、各 Aij は n×n 行列である。

このとき、A を 『 n×n ブロック上三角行列 』 という。

同様に、ブロック下三角行列を定義できる。

D1 ( 後退代入法 )

A=(Aij)を n×n ブロック上三角行列とする。

A の対角ブロックはすべて正則であるとする。

( つまり、各 Akk は正則である )

( いま、明らかに、A は正則である )

AX=B を1次系とする。

次のようにおく。



このとき、解は、

補足

とくに、A が上三角行列で、X と B が列ベクトルの場合、



つまり、連立1次方程式を解いているのである。

証明

まず、Arr=B を解けばよい。

そして、Ar−1、r−1r−1+Ar−1、r=Br−1 を解けばよい。

これを繰り返せばよい。

D2 ( 前進代入法 )

A=(Aij)を n×n ブロック下三角行列とする。

A の対角ブロックはすべて正則であるとする。

AX=B を1次系とする。

次のようにおく。



このとき、解は、

証明

まず、A11=B を解けばよい。

そして、A21+A22=B を解けばよい。

これを繰り返せばよい。