線形写像のrank

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参考

このページでは次を示す。

(*) rank は1次独立な列ベクトルの最大個数である。

定義 ( 標準形 )

次のように定義する。



このとき、Fm、n(r)を 『 標準形 』 という。

S1 ( 標準形は基本変形に依存しない )

A を m×n 行列とする。

A に対し、基本変形を繰り返し行うことによって標準形 Fm,n(r)に変形できる。

しかも、r は基本変形の仕方に依存しない。

証明

これは線形代数で有名な定理であるから省略する。

この定理の証明に必要なことは、次の事実のみである。

(*1) 基本変形は基本行列を掛けることによってなされる。

(*2) 基本行列は正則行列である。

定義 ( 行列の rank )

A を m×n 行列とする。

S1によって定まる r を rankA と表す。

定義 ( 線形写像の rank )

A を m×n 行列とする。

:K→K を T(x)=Ax で定義する。

rankT=dimImT と定義する。

参考

以下では 『 行列の rank 』 と 『 線形写像の rank 』 が一致することを示そう。

S2

A を m×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) P が m 次正則行列ならば、rankTPA=rankT である。

(2) P が n 次正則行列ならば、rankTAQ=rankT である。

(1)の証明

x∈Ker(T*T)とおく。

いま、T(T(x))=(T*T)(x)=0 である。

よって、T(x)∈KerT である。

いま、P は正則行列である。

よって、T は全単射である。

つまり、T は単射である。

よって、KerT={0} である。

よって、T(x)=0 である。

つまり、x∈KerT である。

以上により、Ker(T*T)⊂KerT である。

一方、明らかに、KerT⊂Ker(T*T)である。

よって、Ker(T*T)=KerT である。

いま、dimIm(T*T)=n−dimKer(T*T)である。(※次元定理)

また、dimImT=n−dimKerT である。(※次元定理)

よって、dimIm(T*T)=dimImT である。

つまり、rankTPA=rankT である。

(2)の証明

z∈ImT とおく。

いま、ある y∈K が存在して、z=T(y)と表せる。

また、Q は正則行列である。

よって、T は全単射である。

つまり、T は全射である。

よって、ある x∈K が存在して、y=T(x)と表せる。

よって、z=T(y)=T(T(x))=(T*T)(x)である。

つまり、z∈Im(T*T)である。

以上により、ImT⊂Im(T*T)である。

一方、明らかに、Im(T*T)⊂ImT である。

よって、Im(T*T)=ImT である。

つまり、dimIm(T*T)=dimimT である。

つまり、rankTAQ=rankT である。

S3

行列 A に基本変形を行っても、rankT は変化しない。

証明

行列の基本変形は、基本行列を掛けることでなされる。

よく知られているように、基本変形は正則行列である。

よって、成り立つ。(※S2)

S4

A=(a、・・・、a) を m×n 行列とする。

:K→K を T(x)=Ax で定義する。

このとき、ImT=Span(a、・・・、a)である。

証明

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

よく知られているように、線形写像は基底を保存する。

よって、ImT=Span(T(e)、・・・、T(e))である。

また、T(e)=Ae=a である。

よって、ImT=Span(a、・・・、a)である。

S5

A=(a、・・・、a) を m×n 行列とする。

このとき、rankT は a、・・・、a の中で1次独立な列ベクトルの最大個数に等しい。

証明

、・・・、a の中で、1次独立な列ベクトルの最大個数を r とする。

r=0 の場合、a、・・・、a はすべての零ベクトルである。

よって、rankT=dimImT=0 である。

r≧1の場合について考える。

、・・・、b を a、・・・、a の中で1次独立となる r 個のベクトルとする。

、・・・、cn−r を、残りのベクトルとする。

いま、ImT=Span(b、・・・、b、c、・・・、cn−r)である。(※S4)(★)

また、c を b、・・・、b の1次結合で表せる。

よって、c、・・・、cn−r∈Span(b、・・・、b)である。

よって、(★)より、ImT=Span(b、・・・、b)である。

つまり、dimImT=dimSpan(b、・・・、b)である。

つまり、rankT=r である。

S6

A を m×n 行列とする。

このとき、rankT=rankA である。

証明

rankA=r とする。

いま、A に対して基本変形を行い、Fm、n(r)に変形できる。(※S1)

よって、rankT=r である。(※S3、S5)

つまり、rankT=rankA である。

S7

次はすべて同値である。

(1) rankA

(2) rankT

(3) A の列ベクトルの中で1次独立なものの最大個数

(4) A の行ベクトルの中で1次独立なものの最大個数

(1)⇔(2)の証明

既に示した。(※S6)

(1)⇔(3)の証明

既に示した。(※S5)

(3)⇔(4)の証明

よく知られているように、行列の転置に対して rank は不変である。

よって、成り立つ。