双1次形式、2次形式(行列分解ver)

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参考

このページでは 『 双1次関数(双線形関数)』 と 『 双1次形式(双線形形式)』 を定義する。

ただし、すぐに両者が同一のものであることが示される。

なので、これらの名前は本質的ではない。

定義 ( 双1次関数 )

f:× を関数とする。

次が成り立つとする。

(*1) f(x+x、y)=f(x、y)+f(x、y)

(*2) f(kx、y)=kf(x、y)

(*3) f(x、y+y)=f(x、y)+f(x、y

(*4) f(x、ky)=kf(x、y)

このとき、f を 『 双1次関数 』 という。

定義 ( 双1次形式 )

A=(aij)を m×n 行列とする。

x=(x、・・・、x、y=(y、・・・、y を列ベクトルとする。

f:× を f(x、y)=xAy で定義する。

( むろん、xAy=i、jij である )

このとき、f を 『 双1次形式 』 という。

また、A を 『 f の行列 』 という。

明らかに、双1次形式は双1次関数である。

定義 ( 対称双1次形式 )

Ay を双1次形式とする。

任意の x、y に対し、xAy=yAx であるとする。

このとき、xAy を 『 対称双1次形式 』 という。

定義 ( 2次形式 )

A=(aij)を m×m 行列とする。

x=(x、・・・、x を列ベクトルとする。

f:× を f(x、x)=xAx で定義する。

( むろん、xAx=i、jij である )

このとき、f を 『 2次形式 』 という。

また、A を 『 f の行列 』 という。

D3

任意の双1次関数は、双1次形式として表せる。

証明

f(x、y)を双1次関数とする。

を I の第 i 列とする。

ij を f(e、e)とおく。

A=(aij)とおく。

いま、

D4 ( 双1次形式と行列の関係 )

Ay、xBy を2つの双1次形式とする。

このとき、次は同値である。

(1) A=B

(2) つねに xAy=xBy である。

補足

実は、(2)⇒(1)は2次形式では一般には成り立たない。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

A=(aij)、B=(bij)とおく。

いま、aij=eAe=eBe=bij である。

つまり、A=B である。

D5

Ay を双1次形式とする。

このとき、次は同値である。

(1) xAy は対称双1次形式である。

(2) A は対称行列である。

証明

(1)を仮定する。

いま、xAy=yAy である。

一方、yAx=(yAx)=xy である。(★)

( yAx は実数なので、転置しても値が変化しないことに注意 )

よって、xAy=xy である。

よって、A=A である。(※D4)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、(★)より、xAy=yAx である。

D6 ( 2次形式と行列の関係 )

A=(aij)、B=(bij)を n×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) つねに xAx=xBx である。

(2) aii=bii かつ aij+aji=bij+bji

(3) A+A=B+B

補足

D4 の補足で述べたように、xAx=xBx でも A=B とは限らない。

では、xAx=xBx としたとき、A と B にはどのような関係が?

それを示すのが、今回の定理である。

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

x を、I の第 i 列とする。

いま、aii=xAx=xBx=bii である。

x を、第 i 成分と第 j 成分が1で、他の成分は 0 であるとする。

いま、aii+aij+aji+ajj=xAx=xBx=bii+bij+bji+bjj である。

(2)⇒(3)の証明

明らかである。

(3)⇒(1)の証明

(3)を仮定する。

いま、xAx=2−1(xAx+(xAx))=2−1(xAx+xx)=2−1(A+A)x である。

よって、xAx=2−1(A+A)x=2−1(B+B)x=xBx である。

D7

A を n×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) つねに xx=xAx である。

(2) ある対称行列 B が一意に存在して、xAx=xBx となる。

とくに、(2)の B は、B=2−1(A+A)である。

(1)の証明

明らかである。(※B5において、B として A を考えればよい )

(2)の証明

いま、B+B=2B である。

よって、A+A=B+B は B=2−1(A+A)と表せる。

これはD6(3)の書き換えである。

D8

A、B を n×n 対称行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) つねに xAx=xBx である。

(2) A=B

証明

いま、A=A かつ B=B である。

よって、成り立つ。(※D6)

D9

A を n×n 対称行列とする。

任意の x に対して xAx=0 であるとする。

このとき、A=O である。

証明

明らかである。(※D8)