射影行列

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注意

以下、X(XX) を P と表す。

Z19

V を n次-列ベクトル全体とする。

X を n×r 行列とする。

z∈X とおく。

y を、Z の C(X) への射影とする。

このとき、z=Py である。

証明

明らかに、(XX)y は、XXb=Xy の解である。

よって、z=Py である。(※Z17)

Z20

V を n次-列ベクトル全体とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、ある行列 A が一意に存在して、次を満たす。

(*) 任意の y∈V に対し、Ay は y の V 上への射影である。

しかも、A=P と表せる。

ただし、X は、W=C(X) を満たす行列である。

証明

いま、任意の y∈V に対し、Py は y の W 上への射影である。(※Z19)

次に、一意性を示す。

行列 A が存在して、条件(*)を満たすとする。

いま、任意の y∈V に対して Ay=Py である。

よって、A=P である。

定義 ( 射影行列 )

V を n次-列ベクトル全体とする。

W を V の部分空間とする。

A22 によって定まる行列 A (=P) を 『 W への射影行列 』 という。

Z21

V を n次-列ベクトル全体とする。

W を V の部分空間とする。

A を W への射影行列とする。

このとき、A=P と表せる。

ただし、X は、W=C(X)を満たす行列である。

証明

既に示した。(※Z19の証明)

Z22

X を m×n 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) P=X ( つまり(XX) は X の一般逆行列である )

(2) XXB=X の解 B に対して P=XB である。

(3) P=P ( つまり、P は対称である )

(4) P=P ( つまり、P は巾等である )

(5) rankP=rankX

(6) rank(I−P)=m−rankX

(1)の証明

いま、XX(XX)X=XX=XXI である。(※定義:一般逆行列)

よって、X(XX)X=XI=X である。(※Z8)

(2)の証明

を XXB=X の解とする。(※Z16)

いま、ある行列 Y が存在して、B=(XX)+(I−(XX)X)Y である。(※Z11)

よって、(1)より、XB=P+(X−PX)Y=P である。

(3)の証明

一般に、(A は A の一般逆行列である。

実際、A(A=(AAA)=A である。

よって、((XX) は XX の一般逆行列である。

よって、((XX) は XXB=X の解である。(※Z8)

よって、(2)より、X(XX)=P=X((XX) である。

(4)の証明

(1)より、P=PX(XX)=X(XX)=P である。

(5)の証明

いま、明らかに、C(P)⊂C(X)である。(※A1)

また、(1)より、C(X)⊂C(P)である。

よって、C(P)=C(X)である。

よって、rankP=rankX である。

(6)の証明

(4)、(5)より、rank(I−P)=n−rankP=n−rankX である。(※Z10)

Z23

X を n×p 行列とする。

Y を n×q 行列とする。

C(Y)⊂C(X)であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) PY=Y、Y=Y

(2) P=P=P

補足

とくに、C(Y)=C(X)ならば、(2)より、P=P である。

(1)の証明

いま、ある行列 A が存在して、Y=XA となる。(※A1)

よって、PY=PXA=XA=Y である。(※Z22)

また、Y=(PY)=W=W である。(※Z22)

(2)の証明

(1)より、P=PY(YY)=Y(YY)=P である。

同様に、P=P である。

Z24

X を n×p 行列とする。

W を C(X) の部分空間とする。

A を W に対する射影とする。

このとき、PA=AP=A である。

証明

B を、C(B)=C(X)を満たす行列とする。

いま、A=P である。(※Z21)

よって、PA=AP=A である。(※Z23)

Z25

V を n次-列ベクトル全体とする。

W を V の部分空間とする。

A を W への射影行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) W=C(A)

(2) dimW=rankA

(1)の証明

とくに、W=C(X)を満たす行列とする。

いま、A=P である。(※Z21)

一方、C(P)=C(X)である。(※Z22(5)、あるいはその証明)

よって、W=C(X)=C(P)=C(A)である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

Z26 ( 射影行列の特徴づけ )

A を正方行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は射影行列である。

(2) A は対称かつ巾等である。

証明

(1)⇒(2)は既に示した。(※Z22)

(2)を仮定する。

いま、AA=A=A である。

よって、AA の一般逆行列は、A の一般逆行列である。

よって、P=A(AA)=A(AA)A=A である。

参考

色々と書いたが、結論はシンプルである。

いま、ある部分空間 W への射影行列 A を考えよう。

実は、A は対称かつ巾等である。(※Z26)

しかも、W=C(A)である。(※Z25)

しかも、dimW=rankA である。(※Z25)