シューア補元

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B12

A を m×p 行列とする。

B を n×p 行列とする。

C を n×q 行列とする。

rankA=p または rankC=n であるとする。

このとき、

証明

いま、A は左逆行列 L をもつ。(※B8)

よって、



よって、次が成り立つ。(※B10補足)



一方、明らかに、



よって、

B13

A を m×m 行列とする。

B を n×m 行列とする。

C を n×n 行列とする。

次の行列を考える。



このとき、次は同値である。

(1) A と C は正則である。

(2) (*1)は正則である。

(3) (*2)は正則である。

上の(1)〜(3)が成り立つとき、次が成り立つ。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

B12 より、



つまり、m≦rankA≦m である。

よって、rankA=m である。

つまり、A は正則である。

同様に、C が正則であることも示される。

以上で、(2)⇒(1)が示される。

(1)⇔(3)も同様に示される。

定義 ( シューア補元 )

次のような行列を考える。



11 と A22 は正方行列であるとする。

11 は正則であるとする。

このとき、A22−A2111−112 を 『 A に関する A22 のシューア補元 』 という。

また、A11−A1222−121 を 『 A に関する A11 のシューア補元 』 という。

B14

22−A2111−112 を A22 のシューア補元とする。( つまり、A11 は正則である )

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかに、



よって、B10補足、B12 より、

B15

Q=A22−A2111−112 を A に関する A22 のシューア補元とする。( つまり、A11 は正則である )

このとき、次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) A22−A2111−112 は正則である。

上の(1)または(2)が成り立つとき、次が成り立つ。

証明

(1)⇔(2)は明らかである。(※B14)

いま、



よって、上式の左辺は正則である。( なぜなら、右辺の2つの行列は正則 )

よって、B13 より、