対称非負定値行列の分解

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参考

このページでは次を示す。

(*1) 対称非負定値行列の PP 分解

(*2) 対称正定値行列の PP 分解

(*3) 対称非負定値行列は対称な正定値一般逆行列をもつ。

とくに、(*2)の P は正則である。

このページは少し長いが、内容は簡単である。

定義 ( 非負定値 )

つねに xAx≧0 であるとする。

このとき、「 この2次形式は非負定値である 」 という。

明らかに、x=0 に対して xAx=0 である。

ただし、x≠0 に対して xAx=0 となる可能性もある。

定義 ( 正定値 )

Ax は非負定値であるとする。

さらに、x=0 に対してのみ xAx=0 であるとする。

このとき、「 この2次形式は正定値である 」 という。

つまり、x=0 以外の任意の x に対して xAx>0 である。

定義 ( 半正定値 )

Ax は非負定値であるとする。

ただし、xAx は正定値ではないとする。

このとき、「 この2次形式は半正定値である 」 という。

つまり、つねに xAx≧0 で、ある x≠0 に対して xAx=0 となる。

注意

非正定値、正定値、半正定値という用語は、対応する行列に対しても用いる。

D10

Ix は非負定値である。

証明

Ix=x+・・・+x≧0 である。

D11

D=diag(d、・・・、d)を対角行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) D は非負定値である。

(2) d、・・・、d≧0

また、次は同値である。

(3) D は正定値である。

(4) d、・・・、d>0

また、次は同値である。

(5) D は半正定値である。

(6) d、・・・、d≧0 かつ、少なくとも1つの i∈{1、・・・、n}に対して d=0 である。

証明

明らかである。

D12

A、B を n×n 行列とする。

k>0 をスカラーとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が正定値ならば、kA も正定値である。

(2) A が半正定値ならば、kA も半正定値である。

(3) A と B が非負定値ならば、A+B も非負定値である。

(4) A が正定値かつ B が非負定値ならば、A+B は正定値である。

証明

明らかである。

とくに、(4)に注意しよう。

D13

A を n×n 行列とする。

B を n×n 行列とする。

A+A=B+B であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正定値である。

(2) B は正定値である。

また、次は同値である。

(3) A は半正定値である。

(4) B は半正定値である。

また、次は同値である。

(5) A は非負定値である。

(6) B は非負定値である。

補足

つまり、例えば、次は同値である。

(*1) A は正定値である。

(*2) A は正定値である。

(*3) 2−1(A+A)は正定値である。

証明

明らかである。(※D6)

D14

(1) 正定値行列は正則である。

(2) 正則でない非負定値行列は半正定値である。

(1)の証明

A を n×n 正定値行列とする。

A は正則でないと仮定する。(背理法)

いま、rankA<n である。

つまり、A の列は1次従属である。

よって、あるベクトル x≠0 が存在して、Ax=0 となる。

よって、xAx=0 である。

これは矛盾である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

復習 ( 解空間の次元 )

A を m×n 行列とする。

N(A)を A の解空間とする。

つまり、N(A)={ x|Ax=0 } である。

このとき、dimN(A)=n−rankA である。

これは線形代数でよく知られている。

証明は省略する。

D15

A を n×n 行列とする。

P を n×m 行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が非負定値ならば、PAP は非負定値である。

(2) A が非負定値かつ rankP<m ならば、PAP は半正定値である。

(3) A が正定値かつ rankP=m ならば、PAP は正定値である。

(4) PP は非負定値である。

(5) rankP<m ならば、PP は半正定値である。

(6) rankP=m ならば、PP は正定値である。

(1)の証明

いま、A は非負定値である。

よって、x(PAP)=(Px)APx≧0 である。

(2)の証明

いま、rank(PAP)≦rankP<m である。(※A1)

よって、PAP は半正定値である。(※D14)

(3)の証明

いま、A は正定値である。

よって、Px=0 の場合のみ、x(PAP)x=(Px)APx≧0 の等号が成り立つ。

いま、rankP=m でである。

よって、Px=0 は x=0 を意味する。

よって、PAP は正定値である。

(4)〜(6)の証明

(1)〜(3)より、明らかである。(※D10)

D16

A を n×n 行列とする。

P を n×n 行列とする。

P は正則であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が正定値ならば、PAP も正定値である。

(2) A が半正定値ならば、PAP も半正定値である。

(1)の証明

明らかである。(※D15(3))

(2)の証明

いま、PAP は非負定値である。(※D15(1))

また、ある y≠0 が存在して、yAy=0 となる。

x=P−1y とおく。

いま、x≠0 である。

また、x(PAP)x=(Px)APx=yAy=0 である。

よって、PAP は半正定値である。

定義 ( 主部分行列 )

A を正方行列とする。

A から同じ行と列を削除して得た行列を 『 A の主部分行列 』 という。

D17

次が成り立つ。

(1) 正定値行列の逆行列は正定値である。

(2) 半正定値行列の逆行列は半正定値である。

(3) 正定値行列の主部分行列は正定値である。

(4) 半正定値行列の主部分行列は 『 非負定値 』 である。

(5) 正定値行列の対角成分は正である。

(6) 半正定値行列の対角成分は非負である。

ただし、(1)において逆行列の存在は保障されている。(※D14)

一方、(2)において逆行列の存在は保障されていない。

(1)の証明

いま、(A−1=(A−1AA−1 である。

よって、成り立つ。(※D16)

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

A を n×n 行列とする。

A は正定値であるとする。

B を、A の第 i、・・・、i 行と第 i、・・・、第 i 列を残して、他の行と列を削除して得た行列とする。

P を、I の第 i、・・・、i 列から成る n×m 行列とする。

いま、B=PAP と表せる。

また、rankP=m である。

よって、B は非負定値である。(※D15)

(4)の証明

(3)と同様である。

(5)の証明

A の第 i 対角成分は、他の行と列をすべて削除して得た1×1行列と見なせる。

よって、(3)より、成り立つ。

(6)の証明

(5)と同様である。

D18

P を n×n 正則行列とする。

D=diag(d、・・・、d)を対角行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) d、・・・、d≧0

(2) PDP は非負定値である。

また、次は同値である。

(3) d、・・・、d>0

(4) PDP は正定値である。

また、次は同値である。

(5) d、・・・、d≧0 かつ、少なくとも1つの i∈{1、・・・、n} に対して d=0 である。

(6) PDP は半正定値である。

(1)⇔(2)の証明

A=PDP とおく。

いま、D=(P−1AP−1 である。

よって、次は同値である。(※D15)

(*1) D は非負定値である。

(*2) A は非負定値である。

また、次は同値である。(※D11)

(**1) D は非負定値である。

(**2) d、・・・、d≧0

(3)⇔(4)の証明

(1)⇔(2)と同様である。

ただし、D15 の代わりに D16 を用いる。

(5)⇔(6)の証明

(3)⇔(4)と同様である。

D19 ( 対称行列の対角化 )

A を対称行列とする。

このとき、ある正則行列 P が存在して、PAP は対角行列となる。

証明

これは線形代数で有名な対角化の定理である。

証明は省略する。

D20

A を n×n 行列とする。

このとき、ある正則行列 P とスカラー d、・・・、d が存在して次を満たす。

(*) xAx=1≦i≦n

ただし、y=Px で y=(y、・・・、y)である。

証明

いま、ある対称行列 B が一意的に存在して、xAx=xBx となる。(※D7)

また、ある正則行列 P と対角行列 D が存在して、B=PDP となる。(※D19)

y=Px とおく。

いま、xAx=xDPx=(Px)DPx=1≦i≦n である。

D21 ( 対称非負定値行列の PP 分解 )

A を n×n 行列とする。

A は O でないとする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対称非負定値行列かつ rankA=r である。

(2) ある r×n 行列 P が存在して、A=PP かつ rankP=r となる。

補足

A=O を含める場合、rankA=r や rankP=r を条件から外してよい。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある正則行列 Q と対角成分 D が存在して、A=QDQ となる。(※D19)

、・・・、d を D の対角成分とする。

、・・・、q を Q の行とする。

いま、rankA=rankD である。(※B10)

よって、D の対角成分のうち、r 個は 0 でない。

よって、それらは正である。(※D18)

それらを d、・・・、d としても一般性を失わない。

P を、第 i 行が d1/2 ( i=1、・・・、r ) の r×n 行列とする。

いま、A=狽P≦i≦nd1≦i≦r1≦i≦r1/2(d1/2)=PP である。

よって、rankP=rank(PP)=rankA=r である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、rankA=rankPP=rankP=r である。

また、明らかに、A は対称である。

また、A は非負定値である。(※D15)

D22 ( 非負定値な2次形式の特徴づけ )

A を n×n 行列とする。

A は O でないとする。

r=rank(A+A)とする。

このとき、次は同値である。

(1) xAx は非負定値である。

(2) ある r×n 行列 P が存在して、rankP=r かつ xAx=(Px)Px となる。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある対称行列 B が一意的に存在して、xAx=xBx となる。(※D7)

また、B=2−1(A+A)である。(※D7)

つまり、B は非負定値行列である。

また、rankB=r である。

よって、ある r×n 行列 P が存在して、B=PP かつ rankP=r となる。(※D21)

よって、xAx=(Px)Px である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、PP は非負定値である。(※D21)

よって、A は非負定値である。

( xAx=xPx であることに注意 )

D23

A を n×n 対称非負定値行列とする。

rankA=r とする。

m≧r とする。

このとき、ある m×n 行列 P が存在して、A=PP となる。

証明

r=0 の場合、P=O である。

r>0 とする。

いま、ある r×n 行列 P が存在して、A=P となる。

次のようにおく。



いま、A=PP である。

D24

A を m×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A=O

(2) AA=O

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

いま、aij=0 である。

よって、A=O である。

D25

X を n×m 行列とする。

A を n×n 対称非負定値行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) AX=O

(2) XAX=O

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

いま、ある行列 P が存在して、A=PP となる。(※D21)

いま、(PX)PX=XAX=O である。

よって、PX=O である。(※D24)

よって、AX=PPX=O である。

D26

A を対称非負定値行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は正則である。

(2) A は正定値である。

また、次は同値である。

(3) A は正則である。

(4) A は半正定値である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

Ax=0 とする。

いま、Ax=0 である。(※D25)

よって、x=0 である。

よって、A は正定値である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。(※D14)

(3)⇔(4)の証明

(1)⇔(2)の言い換えである。

D27 ( 対称正定値行列の PP 分解 )

A を n×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対称正定値行列である。

(2) ある正則行列 P が存在して、A=PP となる。

証明

明らかである。(※D21、D26)

D28 ( 正定値な2次形式の特徴づけ )

A を n×n 行列とする。

このとき、次は同値である。

(1) xAx は正定値である。

(2) ある正則行列 P が存在して、xAx=(Px)Px である。

証明

(1)を仮定する。

いま、2−1(A+A)は正定値である。(※D13)

よって、その rank は n である。(※D26)

よって、ある正則行列 P が存在して、xAx=(Px)Px となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、PP は正定値である。(※D15またはD27)

よって、A は正定値である。

( xAx=xPx であることに注意 )

D29

(1) 対称行列は、対称な一般逆行列をもつ。

(2) 対称非負定値行列は、対称な正定値一般逆行列をもつ。

(1)の証明

A を n×n 対称行列とする。

rankA=r とする。

いま、ある正則行列 P と対角行列 D が存在して、A=PDP となる。(※D19)

、・・・、d を D の対角成分とする。

いま、rankA=rankD である。(※B10)

よって、D の対角成分のうち、r個は 0 でない。

よって、それらは正である。(※D18)

それらを d、・・・、d としても一般性を失わない。

i=1、・・・、r に対して d=1/d とおく。

i=r+1、・・・、n に対して d は任意のスカラーであるとする。(★)

=diag( d、・・・、 d)とおく。

いま、D は D の一般逆行列である。

=Q−1(Q−1 とおく。

いま、G は A の一般逆行列である。(※C8)

むろん、(Q−1=(Q−1 である。

よって、G=Q−1(Q−1 である。

よって、G は対称である。

(2)の証明

(1)の証明を引き継ぐ。

(★)では、i=r+1、・・・、n に対して d を任意のスカラーとした。

ここで、とくに、これを正数とする。

いま、G は正定値である。(※D11)