特異値分解

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Z10

A を n×n 対称非負定値行列とする。

このとき、n×n 直交行列 P、対角成分がすべて正である対角行列 D が存在して、



ただし、D が n×n 行列の場合も含む。

証明

明らかである。(※Z9、Z5)

Z11 ( 特異値分解 )

A を m×n 行列とする。

rankA=r とする。

このとき、n×n 直交行列 Q、m×m 直交行列 P、対角成分がすべて正である r×r 対角行列 P が存在して、



ただし、rankD=m の場合も含める。

また、(1)は次のように書き換えられる。



ただし、P=(P、P)、Q=(Q、Q)である。

また、P と Q は m×r 行列である。

また、P=diag(p、・・・、p)、Q=diag(q、・・・、q)である。

(1)の証明

、・・・、s を AA の固有値とする。(重複も認める)

=diag(s、・・・、s)とおく。

いま、AA は対称である。

また、AA は正定値である。(※D15で A=I として適用)

また、rank(AA)=rankA=r である。

よって、AA は r 個の固有値をもつ。(重複も認める)

また、それらは正である。(※Z9)

いま、ある n×n 直交行列 Q が存在して、次を満たす。(※Z10)



Q=(Q、Q)と分割する。

は r 個の列をもつとする。

=AQ−1 とおく。

いま、QAQ=D である。

よって、P=D−1AQ−1=D−1−1=I である。

一方、dimN(P)=m−rankP=m−rank(P)である。

よって、N(P)は m−r 個の元から成る正規直交基底をもつ。

これを並べて m×(m−r)行列 P を構成する。

いま、

(2)〜(4)の証明

明らかである。