隣が転置ならば外せる

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Z7

A を m×n 行列とする。

次は同値である。

(1) AA=O

(2) A=O

証明

明らかである。

Z8 ( 隣が転置ならば外せる )

次は同値である。

(1) AAB=AAC

(2) AB=AC

また、次は同値である。

(3) BAA=CA

(4) BA=CA

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、(AB−AC)(AB−AC)=(B−C)(AAB−AAC)=0 である。

よって、AB−AC=O である。(※Z7)

よって、AB=AC である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

(3)⇔(4)の証明

(1)⇔(2)と同様である。