応用解析インデックス

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複素解析学

□ オイラーの公式[純虚数ver]→複素三角関数→オイラーの公式[複素数ver]

□ 複素微分、正則関数
□ 正則性⇔CR方程式
□ 特異点をもつ関数

□ 複素線積分
□ コーシーの積分定理

□ 変形原理→コーシーの積分公式→テイラー展開→グルサの定理

□ 正則関数の剛性(局所的平坦⇒大局的平坦)
□ 正則関数の剛性(|f(z)|=定値⇒f(z)=定値)

□ 解析接続(一致性定理)
□ 解析接続(一価性定理)

□ 平均値原理→最大値原理

フーリエ解析学

□ フーリエ反転公式[紹介ver]
□ フーリエ反転公式[デルタ関数ver]
□ フーリエ反転公式[周期関数ver]

□ フーリエ変換の性質(時間微分、時間積分、周波数積分)
□ フーリエ変換の性質(時間尺度変換、時間移動、周波数移動)
□ フーリエ変換の性質(対称性、複素共役)

□ 合成積定理
□ パーセヴァルの等式

□ フーリエ変換の具体例(方形パルス、三角パルス)
□ フーリエ変換の具体例(急減少関数、ガウス関数)
□ フーリエ変換の具体例(符号関数)

□ 自己相関関数(方形パルスの自己相関関数は三角パルス)

偏微分方程式論

□ 変数分離法&フーリエ級数の応用(1次元拡散方程式)

□ グリーン関数[熱伝導ver]
□ グリーン関数[弦振動ver]

□ グリーン関数[ポアソン方程式ver]
□ グリーン関数[ヘルムホルツ方程式ver]

□ デルタ関数の公式(ガウス発散定理による証明)

関数解析学

□ ノルム空間には自然に距離が入る
□ 内積空間には自然にノルムが入る
□ シュワルツの不等式の応用

□ span、シュミットの正規直交化
□ 完全性[有限ver]

□ 完備性、バナッハ空間、ヒルベルト空間

□ ヘルダーの不等式

□ ベッセルの不等式[有限ver]
□ ベッセルの不等式[無限ver]→フーリエ級数展開可能性⇔パーセヴァルの等式

無限級数論(一様収束)

□ 無限級数[微分積分ver]
□ 無限級数[複素解析ver]

□ 巾級数[微分積分ver]
□ 巾級数[複素解析ver]

□ 一様収束[微分積分ver]
□ 一様収束[複素解析ver]

□ ギブズ現象は「各点収束するが一様収束しない」代表例である

力学系&微分方程式

□ 行列の指数関数→対角化→1階連立微分方程式

□ 相空間、単振動、楕円型不動点、双曲型不動点
□ 自励系、ロトカ-ボルテラ方程式

□ 電気回路と微分方程式:RL回路、RC回路、LC回路、RLC回路
□ 化学工学、微分方程式、流出、流入