物理数学インデックス

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第*章(P) 振動工学、常微分方程式

□ 微小振動では「ない」単振子、第1種積分、サイクロイド振子

□ 減衰振動、強制振動、共振、減衰系
□ 連成振動、固有モード、2重振り子、うなり

□ 行列の指数関数→対角化→1階連立微分方程式

□ 相空間、単振動、楕円型不動点、双曲型不動点
□ 自励系、ロトカ-ボルテラ方程式

□ 化学工学、微分方程式、流出、流入

第*章(P) 解の存在と一意性

□ 微分方程式の解の存在と一意性、リプシッツ条件、グロウンウォールの不等式
□ 比較定理

第*章(P) フーリエ解析

□ 周期関数の同一視×3
□ 「複素フーリエ解析」=「実フーリエ解析」

□ ギブズ現象は「各点収束するが一様収束しない」代表例である
□ フーリエ変換の直接的な計算)

□ 離散的フェイエルの定理、ワイエルシュトラスの多項式近似〜解析的証明ver
□ 離散的フェイエルの定理、ワイエルシュトラスの多項式近似〜幾何的証明ver
□ L2収束→パーセヴァルの等式
□ フーリエ級数、パーセヴァルの等式

□ パーセヴァルの等式〜フーリエ級数ver〜フーリエ変換ver
□ 急減少関数のフーリエ変換、反転公式、プランシュレルの定理
□ 急減少関数のconvolution

□ 超関数のフーリエ変換
□ デルタ関数

□ 連続データ、離散的エネルギースペクトル、連続的エネルギースペクトル
□ 離散データ、エイリアシング、離散フーリエ変換

□ 伝達関数、相関関数、ホワイトノイズ

第*章(P) 偏微分方程式

□ 偏微分方程式の分類、重ね合わせの原理、フーリエの方法
□ ラグランジュ偏微分方程式

□ ストークス解〜特性曲線による導出
□ ストークス解〜フーリエ積分による導出

□ 1次元波動方程式、弦の振動
□ 1次元熱伝導方程式、周期的境界条件、断熱的境界条件

□ ラプラス方程式〜円柱座標ver
□ ラプラス方程式〜球座標ver

□ ラプラス方程式、定常状態における温度分布
□ 2次元波動方程式、膜の振動

□ ラプラス方程式、ポアソン積分公式〜極座標ver

第*章(P) ラプラス変換、差分方程式

□ ラプラス変換、ラプラス逆変換
□ 留数定理とラプラス反転公式
□ ラプラス変換の応用〜周期関数、積分方程式、常微分方程式、偏微分方程式
□ 線形差分方程式
□ 漸化式で表される数列
□ 線形微分方程式

第*章(P) 特殊関数

□ ガンマ関数、ベータ関数

□ 級数解法、エアリー微分方程式
□ ルジャンドル微分方程式、ルジャンドル多項式
□ エルミート微分方程式、エルミート多項式
□ チェビシェフ微分方程式、チェビシェフ多項式
□ 確定特異点、決定方程式、ベッセル微分方程式、ノイマン関数

第*章(P) 複素解析

□ 正則関数は剛性をもつ
□ 鏡像原理、解析接続
□ 1次分数変換

第*章(P) 曲率

□ 平面曲線、曲率、曲率円、対数螺旋
□ 空間曲線、曲率、常螺旋

□ 第1基本量、第1基本形式による面積分の計算
□ ガウス曲率>0⇒凸であり、ガウス曲率<0⇒鞍である
□ 法曲率 と umblic point

□ 第1基本行列は歪みの総量を表し、第2基本行列は凹凸を表す
□ ワインガルテン行列によってガウス曲率を直観的に理解できる

□ ガウス曲率の計算、平面、円柱面、楕円面、トーラス

□ 「ガウス曲率=一定」の回転面、円柱面、円錐面、擬球面
□ 回転面で極小面となるものは、カテノイド(懸垂面)のみである

□ 線織面、可展面
□ 包絡線、縮閉線、伸開線

□ 懸垂線はcoshで記述される
□ 表面張力

□ ジョルダンの曲線定理
□ 等周問題
□ 卵形線、四頂点定理

第*章(P) ベクトル解析

□ 曲面積
□ ベクトル解析の三大定理

第*章(P) テンソル、多様体

□ ベクトル場は風であり、座標関数は風力計である
□ 微分形式への扉〜全微分の曖昧性を解決する
□ 双対写像は背後にある1形式を明示する

□ 線積分の相互関係+微分形式の入口
□ 微分形式と外積
□ テンソル積〜剰余類による構成
□ 外積〜剰余類による構成
□ テンソルの基礎

第*章(P) 位相幾何

□ ホモロジ群の計算〜グラフver
□ ホモロジ群の計算〜単体・複体ver
□ ホモトピと基本群
□ 被覆空間

第*章(P) 様々な幾何学

□ 行列群、回転群
□ 不連続群、O(2)の離散部分群、平面結晶群

□ 位相群の基礎
□ 射影空間、リーマン球面、多様体
□ クラインの幾何
□ 球面幾何
□ 双曲幾何