「真空の誘電率」と「真空の透磁率」の間に成り立つ関係

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参考 ( 「真空の誘電率」と「真空の透磁率」の間に成り立つ関係 )

真空の誘電率εと真空の透磁率μの間に cμε=1 が成り立つ。

ここで、c は光速を意味する。

これは実験的な事実である。

以下、上記の関係がどのようにして得られるのかを確認しよう。

参考 ( クーロンの法則 )

電荷 Q を原点に置く。

電荷 q の位置ベクトルを r とする。

このとき、電荷 q には次のような力がはたらく。( C は正の定数である )



これを 『 クーロンの法則 』 という。

また、F を 『 静電気力(クーロン力)』 という。

補足

ε を 『 真空の誘電率 』 という。

ここで記号 C を用いている理由は、後の 『 真空の透磁率 』 との対応関係を見易くするためである。

補足

Q と q が同符合ならば、F は 『 斥力 』 である。

Q と q が異符合ならば、F は 『 引力 』 である。

万有引力はつねに引力であったが、静電気力には斥力と引力がある。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

定義 ( 電場 )

電荷 Q を原点に置く。

次のように定義する。



このとき、E を 『 電場 』 という。

上の定義は少し唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、原点に電荷 Q が置かれていることに注意しよう。

ここで、位置 r に電荷 q を置く。

すると、電荷 q には次の力が作用する。(※P1)



いま、Q は原点で固定されていて動かない。

よって、本質的に重要な量は q と r である。

そこで、定義に書かれているように E を定義する。

すると、F(r)=E(r)q となる。

参考 ( 磁荷から生じる磁場 )

磁荷 Q を原点に置く。

磁荷 q の位置ベクトルを r とする。

このとき、磁荷 q には次のような力がはたらく。



ただし、C は正の定数である。

補足

μ を 『 真空の透磁率 』 という。

補足

クーロンの法則を改めてここに書くと、



つまり、電場と磁場では係数が逆数になっている。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

定義 ( 静磁場 )

磁荷 Q を原点に置く。

次のように定義する。



このとき、B を 『 磁場 』 という。

要請 ( 磁化密度=0 )

磁荷密度ρ はつねに 0 である。

証明

これは要請・実験的事実として採用する。

詳しくは次の参考を参照。

参考 ( モノポール )

よく知られているように、磁石はつねに N 極と S 極のペアとして存在する。

片方だけの粒子を 『 モノポール(磁気単極子)』 という。

ただし、現在のところ、モノポールはまだ見つかっていない。

理論的にはモノポールが存在する可能性はあるとされている。

しかし、ここでは磁石はつねに N 極と S 極でペアになっているとして議論する。

電荷の場合、+ と − は単独で存在できた。

ゆえに、電荷密度は ρ>0 または ρ<0 となった。

一方、磁荷の場合はつねに ρ=0 であると考える。

つまり、点磁荷を考えると、点磁荷に作用する力は 0 になる。

つまり、定義(点磁荷)で考えている力は仮想的なものである。

ここで、

「 では、磁力は存在しないのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

繰り返しになるが、ここで述べているのは、点磁荷の場合には力が相殺されて 0 になるという意味である。

例えば、+ の点電荷 1 の隣に、絶対値が同じ大きさの − の点電荷 2 を置く。

ここから離れたところに、別の + の点電荷 3 を置く。

3 は、1 から斥力を受けるが、2 から引力を受ける。

結局、相殺されてしまう。

これと同じことである。

ただし、磁力を測ることはできる。

実際、磁石を用意すれば磁力を測定できる。

むろん、磁石もN極とS極をペアでもつ。

その周囲に砂鉄を撒くと、磁力線が現れることは理科で知られている。

つまり、スケールがあれば、N極とS極がペアで存在しても磁力を測定できる。

点磁荷の場合は、スケールが 0 なので、仮想的な磁力を考える。

P*

磁場 B に対して divB=0 が成り立つ。

補足

これはマクスウェル方程式の一部である。

証明

ここでは省略するが、マクスウェル方程式より、電場 E に対して divE=ρ/ε が成り立つ。

一方、「 電荷から生じる電場の式(クーロンの法則)」 と 「 磁荷から生じる磁場の式 」 は同じ形をしている。

よって、電場と同様に、磁場に対しても divB=μρ が成り立つ。

( 参考(磁荷から生じる磁場)で注意したように、電場の場合と比較すると係数が逆数になっている )

よって、 divB=0 である。(※要請:磁荷密度=0)