ベクトル解析の公式(ベクトルver)

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参考 ( 概要 )

このページでは 『 ベクトルの内積 』 と 『 ベクトルの外積 』 を定義し、公式を導く。

内積を 『 スカラー積 』 と呼び、外積を 『 ベクトル積 』 と呼ぶこともある。

定義 ( 内積〜その1 )

、b をベクトルとする。

・b=|a||b|cosθ と定義する。

このとき、a・b を 『 a と b の内積 』 という。

明らかに、a・b=b・a である。

明らかに、a・a=|a である。

定義 ( 内積〜その2 )

=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

・b=a+a+a と定義する。

このとき、a・b を 『 a と b の内積 』 という。

明らかに、a・b=b・a である。

明らかに、a・a=|a である。

P1

定義(内積〜その1)と定義(内積〜その2)は同値である。

証明

=(a、0、0)、b=(bcosθ、bsinθ、0)とおいても一般性を失わない。

いま、



上式左辺は定義(内積〜その1)に基づく。

上式右辺は定義(内積〜その2)に基づく。

定義 ( 外積〜その1 )

=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

ここで、次の条件(1)と(2)を満たすベクトルを a×b と表す。

(1) a×b は a から b へ右ネジを回したときにネジが進む向きをもつ。

(2) a×b の大きさは、a と b が張る平行四辺形の面積と同じである。

このとき、a×b を 『 a と b の外積 』 という。

あるいは 『 a と b の外積 』 という。

と b が成す角をθとする。

すると、a と b が張る平行四辺形の面積は |a||b|sinθ である。

つまり、a×b の大きさは|a×b|=|a||b|sinθ である。



明らかに、a×b=−b×a である。

明らかに、a×a=0 である。

定義 ( 外積〜その2 )

=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

×b=(a−a、a−a、a−a)と定義する。

このとき、a×b を 『 a と b の外積 』 という。

明らかに、a×b=−b×a である。

明らかに、a×a=0 である。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)とおく。

いま、形式的に次のように表せる。



余因子展開すると、

、a、a、b、b、b は実数だが、e、e、e はベクトルである。

つまり、(*)は本来の行列式とは異なる。

ゆえに、上では 「 形式的に 」 という言葉を用いた。

P2

定義(外積〜その1)と定義(外積〜その2)は同値である。

証明

=(a、0、0)、b=(bcosθ、bsinθ、0)とおいても一般性を失わない。

いま、



上式左辺は定義(外積〜その1)に基づく。

上式右辺は定義(外積〜その2)に基づく。

P3

(1) a・(b×c)の大きさは a、b、c が張る平行6面体の体積に等しい。

(2) a・(b×c)=c・(a×b)=b・(c×a

(1)の証明

×c は b と c が張る平行四辺形の面積を意味する。

×c と a が成す角をθとする。

いま、|a|cosθは平行四面体の高さを意味する。

よって、体積は V=|b×c||a|cosθ=a・(b×c)である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

(1)では b と c が張る平行四辺形を底面とした。

底面として a と b が張る平行四辺形を選べば、同様の議論によって V=c・(a×b) となる。

P4

(1) a×(b×c)=(a・c)b−(a・b)c

(2) (a×b)×c=(a・c)b−(b・c)a

(1)の証明

計算すると、



上式右辺の第1項は、



同様に、第2項、第3項は、





以上を最初の式に代入すると、

(2)の証明

(1)と同様である。

P5

(t)、b(t) を時間変化するベクトルとする。

このとき、次が成り立つ。



補足

上記の(1)と(2)が成り立つことは直観的に明らかである。(※定義:内積〜その1、外積〜その1)

しかし、ここでは定義(内積〜その2)と定義(外積〜その2)に基づいて計算で示す。

(1)の証明

次のように計算できる。(※定義:内積〜その2)

(2)の証明

次のように計算できる。(※定義:外積〜その2)