ベクトル解析の公式(ベクトル場ver)

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定義 ( 勾配 )

φ(x、y、z)をスカラー場(3変数スカラー値関数)とする。

次のように定義する。



∇φ を gradφ と表すことも多い。

このとき、∇φ を 『 φの勾配 』 という。

つまり、∇φはベクトル場である。

定義 ( 発散 )

(x、y、z)を3次元ベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)とおく。

次のように定義する。



∇・v を div(v) と表すことも多い。

このとき、∇・v を 『 vの発散 』 という。

定義 ( 回転 )

(x、y、z)をベクトル場(3変数3次元ベクトル値関数)とする。

=(v、v、v)と表せる。

次のように定義する。



∇×v を rotv と表すことも多い。

このとき、∇×v を 『 vの回転 』 という。

P1 ( 公式〜その1 )

=(x、y、z) を位置ベクトルとする。

r=|r|とおく。

を定ベクトルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ∇r=r/r

(2) ∇r=nrn−2

(3) ∇(a・r)=a

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

P2 ( 公式〜その2 )

φをスカラー場とする。

をベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ∇×(∇φ)=0

(2) ∇・(∇×v)=0

(1)の証明

計算すると、

(1)の証明

計算すると、

P3 ( 公式〜その3 )

φ、ψをスカラー場とする。

、w をベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ∇×(∇×v)=∇(∇・v)−∇

(2) ∇(φψ)=(∇φ)ψ+φ∇ψ

(3) ∇・(φv)=(∇φ)・v+φ(∇・v

(4) ∇×(φv)=(∇φ)×v+φ(∇×v

(5) ∇・(v×w)=w・(∇×v)−v・(∇×w

補足

上の(3)において v=∇ψとおくと、次を得る。

(*) ∇・(φ∇ψ)=(∇φ)・(∇ψ)+φ∇・(∇ψ)

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

計算すると、

(5)の証明

=(v、v、v)、w=(w、w、w)とおいて計算すればよい。

計算は面倒だが、他と同様に地道に計算すれば結論を得る。