ベクトル場は風であり、座標関数は風力計である

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P1 ( 合成関数の微分法は温度上昇率で分かる )

f(x、y) を2変数関数とする。

(x(t)、y(t)) を xy 平面上の曲線とする。

このとき、曲線上での f の変化率は、

証明

f(x、y) を、xy 平面上の温度分布とする。

つまり、xy平面上では場所によって温度が変化する。

ある点が曲線 (x(t)、y(t)) 上を動くとする。

点が動くときの x 座標の変化率は、dx/dt である。

温度関数 f の x 軸方向の変化率は、∂f/∂x である。

よって、x 軸方向の温度の変化率は(dx/dt)・(∂f/∂x)である。

同様に、y 軸方向の温度の変化率は(dy/dt)・(∂f/∂y)である。

よって、df/dt=(dx/dt)・(∂f/∂x)+(dy/dt)・(∂f/∂y) である。

P2 ( ベクトル場は風である )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

v を、点 p∈ を始点とする n 次元ベクトルとする。

ここで、次のように定義する。



X:U→ をベクトル場とする。

次のように定義する。



このとき、次が成り立つ。

証明

:U→ を E(p)=e で定義する。

( このとき、E を 『 座標ベクトル場 』 という )

を x(x)=x で定義する。

( このとき、x を 『 座標関数 』 という )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

X は自由に吹く風である。

座標ベクトル場は座標軸方向に吹く単位風である。

座標関数は座標軸方向の風力測定器である。

例えば、筒状の物体を想像すればよい。

この筒は特定の座標軸方向と平行に設置されており、そこを通り抜けた風の風力を測定する。

むろん、この風力は特定の座標軸に関する風力のみを測定することになる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

X=(X、・・・、X) とおく。

いま、



f を山とする。

f に対し、自由風 v が吹いたとする。

このとき、次が成り立つ。(※P1)



f に対し、座標軸方向の単位風 e が吹いたとする。

このとき、風は山の傾斜を知るであろう。

実際、次が成り立つ。(※上の(*2)から得てもよいし、定義から直接に得てもよい)



つまり、



風力計 x に対し、自由風 v が吹いたとする。

このとき、風力計は v の第 k 方向の風力を測定するであろう。

実際、次が成り立つ。(※上の(*2)から得てもよいし、定義から直接に得てもよい)



つまり、



(*1)に結果を代入すると、