微小振動では「ない」単振子、第1種積分、サイクロイド振子

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参考 ( 微小振動で「ない」単振子 )

よく知られているように、単振子の微小振動は θ・・=−ωθ と表される。

θ・・=−ωθは線形微分方程式であり、単振動である。

これらの内容は基本的であり、多くの参考書に書かれている。

一方、このページでは微小振動では「ない」単振子を扱う。

これは非線形微分方程式によって記述される。

ただし、まずは微小振動について復習しておく。

これは理論的には省略してよいのだが、後で引用すると便利である。

P1 ( 微小振動の単振子 )

質量 m の質点を、長さ l の糸で吊るす。

s を、質点が描く円弧に沿った座標軸とする。

s の原点は質点の最下点であるとする。

θを、糸と鉛直軸がなす角とする。

いま、運動方程式は ms・・=−mgsinθ である。

θを微小とすると、周期 T は、

証明

ω=√(g/l) とおく。

いま、θ・・=−ωsinθ である。

これは近似的に θ・・=−ωθ である。(※sinθ≒θ)(★)

θ を、θの初期値とする。

いま、t=0 のとき、θ=θ、θ’=0 である。

よって、(★)の一般解は、θ=θcosωt である。

つまり、周期は T=2π/ω である。

P2 ( 微小振動では「ない」単振子 )

質量 m の質点を、長さ l の糸で吊るす。

s を、質点が描く円弧に沿った座標軸とする。

s の原点は質点の最下点であるとする。

θを、糸と鉛直軸がなす角とする。

θ を、θの初期値とする。

いま、運動方程式は ms・・=−mgsinθ である。

このとき、振動の周期 T は、次のように表される。



ただし、k=sin(θ/2)、sin(θ/2)=ksinφ ( 0≦φ≦π/2 ) である。

とくに、θが微小であるとすると、

補足

(1) の K(k) は 『 第1種積分 』 と呼ばれる、

補足

(2) の T は P1 で登場したものと同じである。

ただし、今回の定理は P1 とは独立している。

補足

よく知られているように、振り子は 『 等時性 』 をもつ。

つまり、振り子の周期は、振幅に依存せず、一定である。

このことは小学校や中学校の理科で学ぶ。

ただし、等時性は振幅が小さい場合についてのみ成り立つ。

実際、(2)より、振幅が大きくなると等時性が崩れることが分かる。

また、振幅が小さいほど周期は T に近づく。

(1)の証明

いま、θ・・=−ωsinθ である。

上式の両辺に θ を掛け、t で積分する。( これを 『 エネルギー積分 』 という )

すると、左辺=∫θθ・・dt=(θ/2+C である。

一方、右辺=−ω∫sinθ・θdt=ωcosθ+C である。

よって、(θ=2ωcosθ+C=2(g/l)cosθ+C である。

いま、初期条件は、t=0 で θ=θ、θ=0 である。

よって、C=−2(g/l)cosθ である。

よって、(θ=2(g/l)(cosθ−cosθ)=(4g/l)(sin(θ/2)−sin(θ/2)) である。(★)

ここで、k=sin(θ/2)、sin(θ/2)=ksinφ とおく。

sin(θ/2)=ksinφ の両辺を t で微分すると、



よって、



よって、(★)より、



よって、



0 から θ までの時間は周期の 1/4 に相当する。

よって、

(2)の証明

θ が微小ならば、k は微小である。

よって、次のように近似できる。



よって、

P3 ( サイクロイド振子は等時性を厳密に満たす )

xy平面上の y=2a の下側に半径 a の円 C を置く。

つまり、円 C は原点に接している。

円 C を y=2a に接した状態で転がす。

すると、円 C 上の点 P(x、y) はサイクロイド曲線を描く。

とくに、ここでは点 P の初期位置を原点とする。

ここで、y軸の向きを鉛直上方として重力が作用するとする。

( つまり、重力は y 軸の負方向に作用する )

このとき、サイクロイド曲線に沿って振動する質点の周期は、

証明

円 C が角 θ だけ回転したとする。

いま、点 P の座標は、x=a(θ+sinθ)、y=a(1−cosθ) である。



φ を、点 P を通る接線と x 軸がなす角とする。

いま、



よって、φ=θ/2 である。

s を、原点から点 P までの ( サイクロイド曲線に沿った ) 距離とする。



いま、

一方、ms・・=−mgsin(θ/2) である。

よって、s・・=−(g/4a)s である。

つまり、この質点は角振動数 ω=2−1√(g/a) で単振動する。

よって、周期は T=2π/ω=4π√(a/g) である。