微分形式と外積

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定義 ( 外積 )

次のような計算法則を採用する。

(1) dx∧dx=0

(2) dx∧dy=−dy∧dx

これ以外は通常の計算法則を採用する。

例えば、分配法則などは通常通り行ってよい。

P1

次が成り立つ。

(*) (pdx+qdy)∧(rdx+sdy)=psdx∧dy−qrdx∧dy

証明

計算すると、

P2

ω=pdx+qdy、ω=rdx+sdy とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) ω∧ω=0

(2) ω∧ω=−ω∧ω

証明

明らかである。(※P1)

P3

ω=pdx+qdy+rdz とおく。

ω=pdx+qdy+rdz とおく。

ω=pdx+qdy+rdz とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

地道に計算すればよい。(※P2)

参考

このページでは計算規則だけを採用して外積を定義した。

一方、テンソル積から出発して、外積を構成することもできる。

表面的な規則に、後から意味付けをすることは数学においてよくあることである。

例えば、初等的な線形代数ではサラスの公式によって行列式を定義する。

しかし、n次置換によって n 次行列式を定義し、そこからサラスの公式を導くこともできる。

例えば、集合論では 「 任意の集合は空集合を含む 」 を規約として認めることが多い。

しかし、命題論理と述語論理で議論を精密化すれば、これは定理として導かれる。