微分形式への扉〜全微分の曖昧性を解決する

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定義 ( 微分〜その1 )

y=f(x)を関数とする。

次の極限が存在するとする。



このとき、「 f は x において微分可能である 」 という。

また、この極限を f’(x)と表す。

つまり、



これを 『 f の x における微分係数 』 という。

定義 ( 微分〜その2 )

f(x)を1変数実数値関数とする。

ある実数 a が存在して、次が成り立つとする。



このような a を f’(x)と表し、これを 『 f の点 x における微分係数 』 という。

定義 ( 微分〜その3 )

f(x)を1変数実数値関数とする。

ある実数 a が存在して、次が成り立つとする。



このような a を f’(x)と表し、これを 『 f の点 x における微分係数 』 という。

また、1次近似式 y=f(x)+f’(x)(x−x)を 『 f の x における微分 』 という。

1次近似式とは、g(x)を無視した式のことである。

つまり、x→x を考えると、f と f の1次近似式の差はいくらでも小さくなる。

これが、ここでいう近似の意味である。

注意

次は同値である。

(1) 定義(微分〜その1)

(2) 定義(微分〜その2)

(3) 定義(微分〜その3)

証明

これは微分積分学で有名なので周知であろう。

参考

定義(微分〜その3)の状況を引き継ぐ。

dy=y−f(x)、dx=x−x と表す。

このとき、f の微分は dy=f’(x)dx と表せる。

いま、dx と dy は無限小ではないことに注意せよ。

( dx、dy を無限小と思い込む学生は多いが、本来はそのような意味はない )

いま、x は固定されているが、これを動かせば、dy=f’(x)dx と表せる。

つまり、dy は x と dx の関数である。

つまり、dy は(x、dx)の関数である。

とくに、dy は dx に関して1次式である。

つまり、原点を(x、f(x))にとって新しい座標(dx、dy)に関して1次式 dy=f’(x)dx を考えている。

参考

ところで、f’(x)を次のように表す習慣があることは周知であろう。



すると、1次近似式は次のように表せる。



ここで、混乱する人が多い。

上式には2つの dx が書かれているが、この2つは本来は異なるものである。

もう1つ。

よく、関数は y=f(x)と表される。

すると、1次近似式は次のように表せる。



ここで、また混乱する人が多い。

上式には2つの dy が書かれているが、この2つは本来は異なるものである。

しかし、これを分数の計算と混同してしまい、約分の計算だと考えてしまうのであろう。

上で登場した(*0)は、下の話とも少し関連する。

参考 ( 全微分の曖昧性 )

少し視点を変えてみよう。

話を最初に戻す。

f(x)を1変数実数値関数とする。

f’(x)を f の導関数とする。

df=f’(x)h と定義する。

つまり、df は x と h の2変数関数である。

ここで、f=x とする。

すると、f’(x)=1であるから、dx=h である。

よって、df=f’(x)dx と表せる。

これは定義(微分〜その3)に書いた1次近似式である。

ところで、ここで変数を変換するとどうなるのだろう?

例えば、変数を x から y に変換してみよう。

ただし、この y はここまでの議論で出てきたものとは無関係である。(重要!)

このとき、df=f’(y)dy となるだろうか?

つまり、df は変数変換に対して不変であろうか?

実は、ここまでの議論ではこのことを示せない。

( 単なる記号の書き換えではなくて、変数変換であることにも注意 )

このことを確認してみよう。

改めて、df=f’(x)dx と df=f’(y)dy をここに書くと、



この(*2)から(*1)を導きたいが、これができない。

何となく、助けになりそうな関係は次の式である。



しかし、これだけでは足りない。

もう1つ、次の式があればよさそうに思える。



実際、(*3)の両辺に dx を掛け、(*2)と(*4)を使用すれば(*1)が出る。

しかし、ここまでの議論では(*4)を導き出せないのである。

というより、(*4)は、ただのツジツマ合わせのために欲した式であって、デタラメである。

しかし、この関係が導き出せるかのように錯覚しやすい。

見た目は普通の分数の約分に視えるからである。

とくに、(*0)と(*4)を混同する人も多いであろう。

参考

微分形式の理論では、参考(全微分の曖昧性)に書かれている(*4)を導くことができる。

以下、これを示す。

以下の議論はあまり厳格にしない方が分かりやすいので 『 お話 』 という形で議論を進める。

定義 ( ユークリッド空間の接空間 )

p∈ とおく。

点 p を始点とする n 次元ベクトルを 『 の接ベクトル 』 という。

点 p における接ベクトル全体を T) と表す。

このとき、T) を 『 点 p における ( の ) 接空間 』 という。

参考 ( お話〜その1 )

明らかに、T) は ( 通常の和とスカラー倍に関して ) n 次元ベクトル空間である。

また、点 p を始点とするベクトルを平行移動すれば、これは原点 O を始点とするベクトルである。

つまり、T) と T) を同一視できる。

一方、明らかに、T) と を同一視できる。

つまり、T)、T)、 を同一視できる。

{ e、・・・、e } を の自然基底とする。

いま、T)の元は { e、・・・、e } の1次結合として表せる。

むろん、これは次のように考えてもよい。

(e、・・・、(e を、点 p を始点とする自然な基底ベクトルとする。

いま、T) の元は (e、・・・、(e の1次結合で表せる。

一方、 (e、・・・、(e と e、・・・、e は自然に同一視できる。

つまり、T) の元は e、・・・、e の1次結合として表せる。

定義 ( 接バンドル )

T()=∪p∈)とおく。

このとき、T() を 『 の接バンドル 』 という。

T()と × を同一視できる。(※お話〜その1)

参考 ( お話〜その2 )

f を の関数とする。

X∈T) とおく。

いま、X=1≦i≦nξ と表せる。

f の X 方向への微分係数は 1≦i≦nξ(∂f/∂x である。

この 1≦i≦nξ(∂/∂x を 『 X 方向への微分作用素 』 という。

ここで、X と 『 X 方向への微分作用素 』 を同一視する。

つまり、X=1≦i≦nξ(∂/∂x である。

この同一視より、Xf=1≦i≦nξ(∂f/∂x である。

とくに、(e と (∂/∂x を同一視できる。

むろん、(∂/∂x、・・・、(∂/∂x は T) の基底である。

定義 ( 双対空間 )

V を 上のベクトル空間とする。

V から への線形写像全体を V と表す。

このとき、V を 『 V の双対空間 』 という。

定義 ( 双対基底 )

V を 上のベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意的に v=1≦i≦n ( c ) と表せる。

φ:V→ をφ(v)=c で定義する。

このとき、φ を 『 E の双対基底 』 という。

次が成り立つ。(※証明は省略する)

(1) φ(e)=δij

(2) {φ、・・・、φ}は V の基底である。

(3) dimV=dimV

定義 ( 座標関数 )

x=(x、・・・、x)∈ に対し、次のように定義する。



このとき、各 x を 『 座標関数 』 という、

参考 ( お話〜その3 )

) を T) の双対空間とする。

上の C 級関数全体を C) と表す。

(df):T)→ を (df)(X)=Xf で定義する。

明らかに、(df)∈T) である。

とくに、dx(∂/∂x)=δij である。

よって、次が成り立つ。

(1) { (dx、・・・、(dx } は T) の基底である。

(2) { (dx、・・・、(dx } は T) の基底{ (∂/∂x、・・・、(∂/∂x } と双対である。

通常の微分積分学では dx は形式的なもので意味をもたない。

しかし、今回の議論によって dx に意味が与えられた。

定義 ( φ の p における微分 )

φ: を C 級写像とする。

f: を C 級関数とする。

いま、



これは (∂/∂x と (∂/∂yαφ(p) の関係を表している。

そこで、次のように定義する。



このとき、(φ を 『 φ の p における微分 』 という。

つまり、(φ はφのヤコビ行列 (∂φα/∂x) によって定まる線形写像である。

定義 ( φ の双対微分 )

φ: を C 級写像とする。

次のように定義する。



このとき、φ を 『 φ の p における双対微分 』 という。

つまり、φ は (φ の双対である。

参考 ( 全微分の曖昧性を解決する )

微分積分の本では、全微分は次式で表される。



しかし、この式は曖昧である。

厳密には、定義(φの双対微分)によって記述されるべきである。

つまり、



まさに、この式は、最初に述べた参考(全微分の曖昧性)を解決する式である。

つまり、dy=(dy/dx)dx の正当化である。