ボーアモデル→水素様原子

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定義 ( ボーアモデル )

正電荷をもつ原子核の周りを負電荷をもつ電子が周回運動するモデルを考える。

周回軌道は円軌道であるとする。

これを 『 ボーアの原子モデル 』 という。

P1 ( ボーアモデルの原子半径とエネルギー )

ボーアモデルについて、その原子半径 r とエネルギー E は次のように表される。

補足

(1)において v は電子の速度を意味する。

つまり、ボーアモデルでは原子半径は速度 v に応じて連続的に値をとる。

(1)の証明

いま、電子に対してクーロン力と遠心力は釣り合う。

つまり、



よって、

(2)の証明

いま、



(1)の式を用いて v を消去すると、

要請 ( ボーア量子条件 )

以下、ボーアモデルの電子に付く角運動量 mvr は次の値のみをとるとする。

P2 ( 量子化されたボーアモデルの原子半径とエネルギー )

ボーアモデルにボーア量子条件を要請する。

このとき、原子半径 r とエネルギー E は次のように表される。



補足

とくに、n=1の場合 r=a を 『 ボーア半径 』 という。

補足

n=1の状態を 『 基底状態 』 という。

n>1の状態を 『 励起状態 』 という。

補足

つまり、r や E は離散的な値のみをとる。

これを 『 量子化 』 という。

また、n を 『 量子数 』 という。

補足

各定数の具体的な数値は、次のように与えられる。



よって、



(1)の証明

いま、mvr=(h/2π)n である。

これによってP1(1)から v を消去すると、



よって、

(2)の証明

(1)の結果をP1(2)に代入すると、

定義 ( 水素様原子 )

複数の陽子と1個の原子から成る原子を 『 水素様原子 』 という。

例えば、He や Li2+ は水素様原子である。

P3 ( 量子化された水素様ボーアモデルの原子半径とエネルギー )

核が正電荷 +Ze をもつボーアモデルを考える。

ボーアの量子条件を要請する。

このとき、その原子半径 r とエネルギー E は次のように表される。



補足

つまり、水素様原子の結果は水素原子の結果に対して a を a/Z に置き換えたものである。(※P2)

あるいは、e を Ze に置き換えたものである。

(1)の証明

いま、電子に対してクーロン力と遠心力が釣り合う。

つまり、



いま、mvr=(h/2π)n である。(※要請:ボーアの量子条件)

上式から v を消去すると、

(2)の証明

(1)より、次のように計算できる。