マクスウェル方程式(物質中)

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参考 ( 概要 )

物質中のマクスウェル方程式は次のように表される。



とくに、誘電率εと透磁率μが一様である場合は次のように表される。



このページでは以上のことを示す。

議論の手順は次の通りである。

(1) 誘電体のマクスウェル方程式

(2) 磁性体のマクスウェル方程式

(3) 物質中のマクスウェル方程式

前ページまでの内容も含めて図示すると、

電場中で分極する物質を 『 誘電体 』 という。(詳細は後述)

磁場中で磁化する物質を 『 磁性体 』 という。(詳細は後述)

すべての物質は電場中で分極し、磁場中で磁化する。

つまり、すべての物質は誘電体かつ磁性体である。

以下、序盤では誘電体と磁性体で分けて議論するが、これらは別の物質ではないことに注意。

定義 ( 電気双極子モーメント )

位置 r に電荷 −q が置かれているとする。

位置 r に電荷 +q が置かれているとする。

=r−r とおく。

このとき、p=qd を 『 電気双極子モーメント 』 という。

定義 ( 磁気双極子モーメント )

電流 I が平面上で閉経路を流れているとする。

閉経路に囲まれた面積は S であるとする。

μ を、電流に対して右ネジの進む向きで、大きさ|μ|=IS をもつベクトルとする。

このとき、μを 『 磁気双極子モーメント 』 という。

復習 ( 電気双極子モーメントによって生じる電場、磁気双極子モーメントによって生じる磁場 )

電気双極子モーメント p=qd によって生じる電場は、



磁気双極子モーメント μ によって生じる磁場は、

つまり、(*1)と(*2)は同じ形をしている。

P1 ( 電場中の電気双極子がもつモーメントとエネルギー )

を一様な電場とする。

=qd を電気双極子モーメントとする。

と p が成す角をθとする。

(1) 電気双極子がもつ力のモーメントは N=p×E である。

(2) 電気双極子がもつ位置エネルギーは θ=π/2 を基準として U=−p・E である。

(1)の証明

力のモーメントの大きさは N=(d/2)qEsinθ・2=pEsinθ である。

よって、N=p×E である。

(2)の証明

電荷 +q がもつ位置エネルギーは −(qEdcosθ)/2 である。

電荷 −q がもつ位置エネルギーも −(qEdcosθ)/2 である。

よって、全体の位置エネルギーは U=−qEdcosθ=−p・E である。

P2 ( 磁場中の磁気双極子がもつモーメントとエネルギー )

を一様な磁場とする。

μ=qd を磁気双極子モーメントとする。

とμ の成す角をθとする。

(1) 磁気双極子がもつ力のモーメントは N=μ×B である。

(2) 磁気双極子がもつ位置エネルギー θ=π/2 を基準として U=−μ・B である。

補足

つまり、μ と B が同じ向きであるときにエネルギーは最小となる。

補足

以下の証明では下図のような閉回路を仮定して議論する。

(1)の証明

長さ b の経路にはたらく力の大きさは F=IBb である。(※ローレンツ力)



よって、力のモーメントは N=(a/2)sinθ・F・2=IabBsinθ=μBsinθである。

よって、N=μ×B である。

(2)の証明

エネルギーが最小となる状態は θ=0 である。

そこから角度 θ≠0 まで傾けるための仕事は、



いま、θ=π/2 を基準としているので μB を省いてよい。

よって、位置エネルギーは U=−μBcosθ=−μ・B である。

定義 ( 誘電体、分極、電気感受率 )

電荷が自由に移動できない物質を 『 誘電体 』 という。

( 電荷が自由に移動する物質を 『 導体 』 という )

誘電体に電場をかけると、正電荷と負電荷の位置がわずかにずれる。

これを 『 分極 』 という。

つまり、分極 P は E の関数として表される。

電場 E の強さ E が十分小であるとすると、P は E に比例するとしてよい。(※テイラー展開)

つまり、P=χε (χ>0) である。(★)

ε のおかげで、比例定数χは無次元量である。

このχを 『 電気感受率 』 という。

(★)の補足

等方的物質の場合は P と E の向きが同じである。

異方的物質の場合は P と E の向きが異なる。 等方的な物質の場合、比例定数はスカラーである。

異方的な物質の場合、比例定数はテンソルである。

ここでは等方的な物質を仮定して比例定数はスカラーであるとした。

定義 ( 分極電荷密度、自由電荷密度 )

誘電体に電場をかける。

単位体積あたりに生じる電荷は ρpol=−∇・P である。(★)

この ρpol を 『 分極電荷密度 』 という。

これ以外で物質の電荷密度ρに寄与するものを ρfree と表す。

つまり、ρ=ρfree+ρpolである。

この ρfree を 『 自由電荷密度 』 という。

ρfree としては 「 自由に動ける電荷 」 や 「 外部から加えられた電荷 」 がある。

(★)の証明

分極 P が閉曲面の表面に垂直である場合、表面に生じる電荷の面密度はσ=ρd=P である。

一方、分極 P が単位法ベクトル n に対して角度θだけ傾いている場合はσ=Pcosθ=P・n である。



よって、閉曲面の表面に生じる電荷は ∫・ndS である。

よって、閉曲面の内部に生じる電荷は Q=−∫・ndS=−∫∇・PdV である。(※ガウスの定理)

つまり、閉曲面の内部に生じる電荷密度は ρpol=−∇・P である。

定義 ( 電束密度、誘電率 )

=ε+P を 『 電束密度 』 という。(★1)

このとき、D=ε(1+χ)E が成り立つ。(★2)

そこで、ε=ε(1+χ)とおくと、D=εE である。

このとき、εを 『 誘電率 』 という。

(★1)の補足

いま、∇・E=ρ/ε である。(※マクスウェル方程式)

また、ρ=ρfree+ρpolである。

よって、∇・E=(ρfree−∇・P)/ε である。(※定義:分極電荷密度)

つまり、∇・(ε+P)=ρfree である。

そこで、D=ε+P とおく。

すると、∇・D=ρfree である。

(★2)の証明

=ε+P=ε+χε=ε(1+χ)E である。(※定義:電気感受率)

P3 ( 誘電体のマクスウェル方程式 )

静電場における誘電体のマクスウェル方程式(積分形)は、



その微分形は、

とくに、εが一様である場合は、

証明

既に示した。(※定義(電束密度)の補足)

定義 ( 磁性体 )

磁石との間に引力がはたらく物質を 『 常磁性体 』 という。

磁石との間に斥力がはたらく物質を 『 反磁性体 』 という。

磁石になる物質を 『 強磁性体 』 という。

鉄は磁石に引き寄せられるが、常磁性体ではない。

鉄が磁石に引き寄せられるのは、自身が磁石になることによる。

つまり、鉄は強磁性体である。

参考 ( 原子の磁気モーメント )

原子において電子は原子核のまわりを運動している。

その運動に伴い、電子は角運動量をもつ。

このような角運動量を 『 軌道角運動量 』 という。

また、電子自体は自転に相当する角運動量をもつ。

このような角運動量を 『 スピン角運動量 』 という。

これらの角運動量は、いずれもその量に比例した磁気モーメントをもつ。

原子中のすべての磁気モーメントを合わせたものを(その原子の)磁気モーメントという。

ただし、多くの場合、原子の磁気モーメントは正味で 0 となる。

参考 ( 磁気モーメントをもつ原子から成る物質は常磁性体である )

磁気モーメントをもつ原子から成る物質を考える。

温度の影響により、このような物質中で各原子の磁気モーメントの向きは乱雑である。

つまり、物質として磁気モーメントの平均は 0 である。

ここに磁場を加えると、多くの原子は B と同じ向きの磁気モーメントをもつ。(※P2の補足)

一部の物質では隣接する磁気モーメントに強い相互作用がはたらく場合がある。

この効果が温度による乱雑化に打ち勝つと磁気モーメントが向きを揃える。

このような物質を 『 強磁性体 』 という。

このような効果を 『 強磁性交換相互作用 』 という。

この効果は量子論から導かれる。(詳細は別ページで議論する)

参考 ( 磁気モーメントをもたない原子から成る物質は反磁性体である )

磁気モーメントをもたない原子から成る物質を考える。

また、金属に磁場をかけてみよう。

磁場が増加する間、誘導電場によって磁場の増加を妨げる向きに環状電場が流れる。

つまり、金属中に環状電流が流れることで外部磁場を逆向きの磁気モーメントが生じる。

ただし、外部磁場の増加が止まると、電流はジュール熱によるエネルギー散逸によって消失する。

一方、原子に磁場をかけてみよう。

磁場が増加する間、誘導電場によって磁場の増加を妨げる向きに環状電流が流れる。

つまり、原子中に環状電流が流れることで外部磁場と逆向きの磁気モーメントが生じる。

このような環状電流は電子の軌道運動が変化することによって生じる。

また、この環状電流(磁気モーメント)は外部磁場の増加が止まった後も保たれる。

上で述べたように、原子には磁場と逆向きの磁気モーメントが生じる。

この効果はすべての原子に共通に見出される。

むろん、常磁性体を構成する原子も同様である。

ただし、常磁性の方が効果が大きい。

定義 (磁化電流密度、伝導電流密度 )

磁性体に磁場をかける。

このとき、原子に伴う環状電流を 『 磁化電流密度 』 といい、jmag と表す。

また、物質に伴う環状電流を 『 伝導電流密度 』 といい、jcon と表す。

mag は原子スケールで複雑に変化する量である。

ゆえに、以下の議論では jmag は平均した量とする。

定義 ( 磁化ベクトル )

位置 r における磁気モーメントの単位体積あたりの平均を 『 磁化モーメント 』 といい、M(r) と表す。

つまり、M(r)=1≦i≦ΔNμ/ΔV である。

このとき、jmag=∇×M が成り立つ。(★)

(★)について補足

よく知られているように、磁場の発散は 0 である。

つまり、∇・jmag=0 である。

よく知られているように、∇・v をみたすベクトル場 v はベクトルポテンシャルをもつ。

つまり、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

つまり、(★)の M は jmag のベクトルポテンシャルである。

つまり、磁化ベクトルは磁化電流密度のベクトルポテンシャルである。

(★)の証明

微小な直方体 ΔV=abc の磁化ベクトルが M であるとする。

いま、ΔV における磁気モーメントの和 μ=abcM である。

面 bc の縁を周回する環状電流を I とすると、μ=bcI である。

よって、I=aM である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、x方向に Δx だけずれて隣接した領域を考える。

z方向の磁化ベクトルは、M と M+ΔM であるとする。

2つの領域の境界面に流れる電流を Iy1 とする。

いま、Iy1=aM−a(M+ΔM)=−aΔM=−a(∂M/∂x)Δx である。

よって、この境界面を流れる磁化電流密度は jy1=Iy1/(aΔx)=−∂M/∂x である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、z方向に Δz だけずれて隣接した領域を考える。

x方向の磁化ベクトルは M と M+ΔM であるとする。

2つの領域の境界面に流れる電流を Iy2 とする。

いま、Iy2=b(M+ΔM)−bM=bΔM=b(∂M/∂z)Δz である。

よって、この境界面を流れる磁化電流密度は jy2=Iy2/(bΔz)=∂M/∂z である。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、y方向の磁化電流密度は、j=jy1+jy2=∂M/∂z−∂M/∂x である。

同様に、j=∂M/∂y−∂M/∂z と j=∂M/∂x−∂M/∂y である。

以上により、jmag=(j、j、j)=∇×M である。

定義 ( 磁場 H

=ε−M を 『 磁場 』 という。(★)

つまり、B=μ(H+M)である。

が十分小であるとき、H は M に比例する。

つまり、M=χ と表すことができる。

むろん、これによって B=μH と表せる。

このとき、χ を 『 帯磁率 』 という。

また、μを 『 透磁率 』 という。

このとき、明らかに、μ=μ(1+χ)が成り立つ。

を 「 磁束密度 」 と呼び、H を 「 磁場 」 と呼ぶ本もある。

このサイトでは両方とも磁場と呼ぶ。

(★)の補足

一般に、静磁場において c∇×B=j である。(※マクスウェル方程式)

磁性体において j=jcon+jmag である。

また、jmag=∇×M である。

以上により、∇×(ε−M)=jcon である。

そこで、H=ε−M とおく。

すると、B=μ(H+M)である。

P4 ( 磁性体のマクスウェル方程式 )

静磁場において磁性体のマクスウェル方程式は、



むろん、伝導電流が存在しない場合は、

補足

伝導電流が存在しない場合の式は、自由電荷が存在しない電場のマクスウェル方程式と同じ形である。

実際、P3より、



つまり、H を M に置き換え、E を P に置き換えるだけでよい。

証明

よく知られているように、c∇×B=j である。(※マクスウェル方程式)

いま、jmag=∇×M である。

また、B=μ(H+M)である。

よって、∇×H=j−jmag=jcon である。

P5 ( 物質中のマクスウェル方程式 )

時間変化を考慮すると、物質中のマクスウェル方程式は次のように表される。



とくに、誘電率εと透磁率μが一様である場合は次のように表される。

証明

通常のマクスウェル方程式は、



一方、既に求めたように、静電場における誘電体のマクスウェル方程式は、



また、静磁場における磁性体のマクスウェル方程式は、



電場が時間変化する場合、分極も時間変化し、電流が流れる。

この電流を 『 分極電流 』 という。

まず、分極ベクトルは電気双極子の単位体積あたりの平均として表されることに注意する。

つまり、P=(1/ΔV)1≦i≦ΔN である。

いま、p=q=q(ri+−ri−)である。

よって、分極電流密度は jpol=(1/ΔV)1≦i≦ΔN(vi+−vi−)=∂P/∂t である。

また、j=jcon+jmag+jpol である。

また、jmag=∇×M、D=ε+P、H=ε−M である。

以上を(M4)に考えると、∇×H=jcon+∂D/∂t である。