単振動(一般解は解空間で説明できる)

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参考 ( 概要 )

単振動は、物理学・化学・機械工学、建築学において基本的である。

しかし、単振動の一般解は天下り的に教えられる傾向がある。

そこで、このページでは単振動の解空間を議論する。

つまり、線形代数のベクトル空間によって単振動微分方程式の解を記述する。

参考 ( 単振動 )

バネ(バネ定数はk)の一端が固定されているとする。

他端に質量 m の質点が付けられているとする。

この系の運動方程式は次のように表される。



これを次のように表すことも多い。

P1

I を の区間とする。

(I)はベクトル空間である。

補足

(I)は区間 I 上の C級関数全体を意味する。

級関数とは、何回でも微分可能な関数である。

証明

f、g∈C(I)とおく。

k∈ とおく。

いま、f と g は I 上の連続関数である。

f+g:I→ を(f+g)(x)=f(x)+g(x)で定義する。

kf:I→ を(kf)(x)=kf(x)で定義する。

明らかに、f+g、kf∈C(I)である。

明らかに、C(I)はベクトル空間の公理を満たす。

例えば、C(I)の零元は、I 上でつねに値が 0 である定値関数である。

P2

x’’(t)=−ωx を単振動の方程式とする。(★)

ここで、P=d/dt+ω とおく。

いま、(★)は、Px(t)=0 と表せる。

Sol(P、0)={ x(t)∈C(I)|Px(t)=0 } と定義する。

このような Sol(P、0) を 『 Px(t)の解空間 』 という。

このとき、次が成り立つ。

(1) P は C(I) から C(I) への線形写像である。

(2) Sol(P、0)はベクトル空間である。( つまり、Sol(P、0) は C(I)の部分空間である )

(1)の証明

いま、C(I)はベクトル空間である。(※P1)

また、f、g∈C(I)、α∈ に対して次が成り立つ。

(*1) P(f+g)=(d/dt+ω)(f+g)=(d/dt+ω)f+(d/dt+ω)g=Pf+Pg

(*2) P(αf)=(d/dt+ω)αf=α(d/dt+ω)f=αPf

よって、P は線形写像である。

(2)の証明

x(t)、x(t)、x(t)∈Sol(P、0)とおく。

α∈ とおく。

いま、P(x+x)(t)=Px(t)+Px(t)=0+0=0 である。

また、P(αx)(t)=αPx(t)=α・0=0 である。

よって、(x+x)(t)、(αx)(t)∈Sol(P、0)である。

また、明らかに、Sol(P、0)はベクトル空間の公理を満たす。

よって、Sol(P、0)はベクトル空間である。

(2)の別証明

Sol(P、0)=KerP である。

線形代数でよく知られているように、KerP はベクトル空間である。

よって、Sol(P、0)はベクトル空間である。

P3

次のようにおく。



つまり、Px=0 は n 階線形微分方程式である。

φ:Sol(P、0)→ をφ(x(t))=(x(t)、x’(t)、・・・、x(n−1)(t))で定義する。

このとき、φは同型写像である。

補足

つまり、n=2 の場合、Sol(P、0)は2次元ベクトル空間である。

つまり、単振動の解空間は2次元ベクトル空間である。

補足

n=2 の場合、「 Px=0 を満たす x 」 と 「 x(t)、x’(t) 」 は1対1で対応する。

このことは直観的に明らかであろう。

証明

いま、P=d/dt+a(t)d/dt+a(t)である。

また、





いま、h と k は 0 に近づく。

そこで、h=k として、これが 0 に近づくと考える。(※厳密には平均値の定理を用いる)

すると、



よって、Pf=0 は次のように表せる。



ただし、A(t) や B(t) は、a(t)、a(t)、h などを組み合わせた式である。

ここで、極限をとらずに、次式を考える。



式変形すると、f(t+2h)=−A(t)f(t+h)−B(t)f(t)である。

つまり、f(t) と f(t+h) から f(t+2h) が定まる。

例えば、f(0) と f(h) から f(2h) が定まる。

こうして、f(2h)、f(3h)、・・・が定まる。

つまり、x=nh ( n は整数 ) での値が定まる。

h を十分小さくとれば、近似的に f(t) が定まる。

つまり、次は同値である。

(*1) f(t) が定まる。

(*2) f(0) と f(h) が定まる。

(*3) f(0) と (f(h)−f(0))/h が定まる。

h→0 とすれば、(*3)は次を意味する。

(*4) f(0) と f’(0) が定まる。

以上により、f(t) と { f(0)、f’(0) } はすべて1対1に対応する。

つまり、x(t) と { x(t)、x’(t) } は1対1で対応する。

P4

x’’(t)=−ωx(t)を微分方程式とする。

その一般解は、x(t)=csinωt+ccosωt である。

証明

P=d/dt+ω とおく。

いま、問題の微分方程式は Px(t)=0 と表せる。

また、Sol(P、0) は2次元ベクトル空間である。(※P3の補足)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(t)=sinωt、x(t)=cosωt とおく。

いま、Px(t)=0、Px(t)=0 である。

よって、x、x∈Sol(P、0)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(t)+c(t)=0 とおく。(★2)

( 上式の右辺は、C(I)の零元であって、単なる数の 0 ではないことに注意 )

( つまり、上式の右辺は、I 上でつねに値 0 をとる定値関数である )

t=0 を代入すると、0=c(0)+c(0)=c である。

(★2)の両辺を微分して、t=0 を代入すると、0=c’(0)+c’(0)=cωである。

よって、c=0、c=0 である。

つまり、x と x は1次独立である。(★3)

(★1)と(★3)より、{ x、x } は Sol(P) の基底である。

つまり、任意の x(t)∈Sol(P、0) は x(t)=c(t)+c(t) で表せる。