単振動と線形代数の共演から力学的エネルギー保存則へ

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参考

振動現象は重要である。

例えば、化学では、分子の振動を考える。

建築学でも、建造物の振動とその影響は重要である。

同様に、機械工学や物理学全体で、振動現象は重要である。

参考

よく知られているように、力学において次の法則は基本的である。

(1) 運動量保存則

(2) 力学的エネルギー保存則

とくに、このページでは 『 力学的エネルギー保存則 』 を目的とする。

しかし、力学的エネルギー保存則を導くためには、割と多くの準備が必要となる。

とくに、線積分などの概念を用意することが必要となるからである。

ちなみに、運動量保存則はニュートン第2法則の書き換えであり、簡単に導くことができる。

もしかしたら、

「 力学的エネルギー保存則はそれほどまでに大きな話だっただろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

おそらく、それは 『 高校の力学 』 と 『 大学の力学 』 を混同していることによると思われる。

高校物理では1次元の運動を主に扱うので、議論がシンプルである。

一方、大学の物理では3次元の力学的エネルギー保存則を扱う。

なので、線積分などの概念を準備する必要がある。

また、3次元の場合は、1次元の結果をそのまま拡張することができない

力学的エネルギー保存則の応用として 『 中心力による物体の運動 』 がある。

中心力とは、『 引力 』 や 『 電磁気力 』 がある。

つまり、中心力による物体の運動としては 『 ケプラーの法則 』 や 『 ラザフォード散乱 』 がある。

そうした理論の基礎として力学的エネルギー保存則は有用である。

ちなみに、運動量保存則の応用として 『 物体の衝突 』 や 『 剛体の運動 』 がある。

定義 ( 単振動 )

x’’(t)=−ωx(t)を微分方程式とする。

これを 『 単振動の方程式 』 または 『 調和振動の方程式 』 という。

上の微分方程式を次のように表しても意味は同じである。



右辺の係数が ω になっているのは、後々で都合がよいからである。

上の定義は少し唐突であろう。

それゆえ、

「 なぜこんなものを考えるのか? 」

「 そもそも、これのどこが単振動なのか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

そこで、背景を説明しよう。

実は、単振動の微分方程式は、物理学・化学において自然に登場する。

例えば、下図のように、バネにつながれた物体を考えよう。



ただし、バネの自然長を原点とする。

いま、次のような力が物体に働く。

(*1) x>0 ならば、−x 方向に大きさ kx

(*2) x<0 ならば、+x 方向に大きさ k|x|

つまり、力の x 成分は、つねに、F=−kx である。

よって、mx’’(t)=−kx である。

ここで、ω=k/m とおく。

すると、x’’(t)=−ωx である。

こうして、単振動の方程式が得られた。

この他、分子の振動など、あらゆる場面で登場する。

参考

単振動の方程式 x’’(t)=−ωx を解くにはどうすればよいだろう?

ある程度は予想できる。

方程式をよく見ると、その解 x は、2回微分したら元に戻るはずである。

2回微分して元に戻る関数といえば、sin や cos が有名である。

そこで、x(t)=sinωt とおいてみよう。

これを問題の微分方程式に代入すると、次式が成り立つことが分かる。

つまり、x(t)=sinωt は解である。

これで問題解決・・・なのだろうか?

いや、色々と不都合な部分がある。

まず、t=0 とすると、x(0)=sin0=0 である。

つまり、初期値が x=0 の状態しか表していない。

また、バネの振幅は、−1から1に固定されている。

明らかに、他にも解があるはずだ。

どのくらいあるのだろう?

すべての解を表すにはどうすればよいだろう?

以下、これを考えていく。

ちなみに、すべての解を表す式を 『 一般解 』 という。

つまり、私たちは一般解を求めたい。

先に結論を言えば、それは x(t)=csinωt+ccosωt である。(★)

これが 『 解 』 であることは簡単に分かる。

実際に、x’’(t)=−ωx(t)に代入すればよい。

この辺りは初等的な物理学の書物にも書かれている。

たしかに、(★)は色々な解を表すであろう。

しかし、(★)がすべての解を表していると言い切れないであろう。

初等的な書物は、この辺りの説明を省いていることがある。

Z1

I を の区間とする。

(I)はベクトル空間である。

補足

(I)は区間 I 上の C級関数全体を意味する。

級関数とは、何回でも微分可能な関数である。

証明

f、g∈C(I)とおく。

k∈ とおく。

いま、f と g は I 上の連続関数である。

f+g:I→ を(f+g)(x)=f(x)+g(x)で定義する。

kf:I→ を(kf)(x)=kf(x)で定義する。

明らかに、f+g、kf∈C(I)である。

明らかに、C(I)はベクトル空間の公理を満たす。

例えば、C(I)の零元は、I 上でつねに値が 0 である定値関数である。

Z2

x’’(t)=−ωx を単振動の方程式とする。(★)

ここで、P=d/dt+ω とおく。

いま、(★)は、Px(t)=0 と表せる。

Sol(P、0)={ x(t)∈C(I)|Px(t)=0 } と定義する。

( ちなみに、Sol(P、0)を 『 Px(t)の解空間 』 という )

このとき、次が成り立つ。

(1) P は C(I) から C(I) への線形写像である。

(2) Sol(P、0)はベクトル空間である。( つまり、Sol(P、0) は C(I)の部分空間である )

(1)の証明

いま、C(I)はベクトル空間である。(※Z1)

また、f、g∈C(I)、α∈ に対して次が成り立つ。

(*1) P(f+g)=(d/dt+ω)(f+g)=(d/dt+ω)f+(d/dt+ω)g=Pf+Pg

(*2) P(αf)=(d/dt+ω)αf=α(d/dt+ω)f=αPf

よって、P は線形写像である。

(2)の証明

x(t)、x(t)、x(t)∈Sol(P、0)とおく。

α∈ とおく。

いま、P(x+x)(t)=Px(t)+Px(t)=0+0=0 である。

また、P(αx)(t)=αPx(t)=α・0=0 である。

よって、(x+x)(t)、(αx)(t)∈Sol(P、0)である。

また、明らかに、Sol(P、0)はベクトル空間の公理を満たす。

よって、Sol(P、0)はベクトル空間である。

(2)の別証明

Sol(P、0)=KerP である。

線形代数でよく知られているように、KerP はベクトル空間である。

よって、Sol(P、0)はベクトル空間である。

Z3

次のようにおく。



つまり、Px=0 は n 階線形微分方程式である。

φ:Sol(P、0)→ をφ(x(t))=(x(t)、x’(t)、・・・、x(n−1)(t))で定義する。

このとき、φは同型写像である。

補足

つまり、n=2 の場合、Sol(P、0)は2次元ベクトル空間である。

つまり、単振動の解空間は2次元ベクトル空間である。

証明 ( ただし、厳密な証明は行わない )

いま、P=d/dt+a(t)d/dt+a(t)である。

また、





いま、h と k は 0 に近づく。

そこで、h=k として、これが 0 に近づくと考える。(※厳密には平均値の定理を用いる)

すると、



よって、Pf=0 は次のように表せる。



ただし、A(t) や B(t) は、a(t)、a(t)、h などを組み合わせた式である。

ここで、極限をとらずに、次式を考える。



式変形すると、f(t+2h)=−A(t)f(t+h)−B(t)f(t)である。

つまり、f(t) と f(t+h) から f(t+2h) が定まる。

例えば、f(0) と f(h) から f(2h) が定まる。

こうして、f(2h)、f(3h)、・・・が定まる。

つまり、x=nh ( n は整数 ) での値が定まる。

h を十分小さくとれば、近似的に f(t) が定まる。

つまり、次は同値である。

(*1) f(t) が定まる。

(*2) f(0) と f(h) が定まる。

(*3) f(0) と (f(h)−f(0))/h が定まる。

h→0 とすれば、(*3)は次を意味する。

(*4) f(0) と f’(0) が定まる。

以上により、f(t) と { f(0)、f’(0) } はすべて1対1に対応する。

Z4

x’’(t)=−ωx(t)を微分方程式とする。

その一般解は、x(t)=csinωt+ccosωt である。

証明

P=d/dt+ω とおく。

いま、問題の微分方程式は Px(t)=0 と表せる。

いま、Sol(P、0) は2次元ベクトル空間である。(※Z3の補足)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(t)=sinωt、x(t)=cosωt とおく。

いま、Px(t)=0、Px(t)=0 である。

よって、x、x∈Sol(P、0)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(t)+c(t)=0 とおく。(★2)

( 上式の右辺は、C(I)の零元であって、単なる数の 0 ではないことに注意 )

( つまり、上式の右辺は、I 上でつねに値 0 をとる定値関数である )

t=0 を代入すると、0=c(0)+c(0)=c である。

(★2)の両辺を微分して、t=0 を代入すると、0=c’(0)+c’(0)=cωである。

よって、c=0、c=0 である。

つまり、x と x は1次独立である。(★3)

(★1)と(★3)より、{ x、x } は Sol(P) の基底である。

つまり、任意の x(t)∈Sol(P、0) は、x(t)=c(t)+c(t) と表せる。

Z5 ( 振り子 )

下図のような振り子の問題を考える。



r(t)を、時刻 t における質点の位置ベクトルとする。

このとき、次が成り立つ。



θが十分に小さい場合、(1)は近似的に次のように表せる。



この(2)の一般解は次のように表せる。



この(3)は、次のように変形できる。

(1)の証明

いま、F=(0、0、−mg)である。

また、r(t)=(x(t)、0、z(t))である。

また、mr’’=F+T である。

また、x(t)=Lsinθ(t)である。

また、z(t)=−Lcosθ(t)である。

いま、T と r は平行である。

よって、あるスカラー T(t) が存在して、T=T(sinθ(t)、0、−cosθ(t))と表せる。

よって、



いま、





(*1)の両辺に cosθ を掛け、(*2)の両辺に sinθ を掛け、(*1)と(*2)を足し合わせると、

(2)の証明

よく知られているように、θが十分小さい場合は、sinθ≒θである。

それは、例えば、limθ→0(sinθ)/θ=1で知られている。

(3)の証明

明らかである。(※Z4)

(4)の証明

(3)から(4)への変形は高校数学でよく知られている。

参考

Z5(2)の証明中では、θが十分小さければ、sinθ≒θであると書いた。

これはテイラー展開で理解することもできる。

テイラー展開より、sinθ≒θ−θ/3!+θ/5!−・・・である。

θに比べると、θより高次の項(θ、θ、・・・)は無視できる。(★)

よって、sinθ≒θである。

ところで、(★)では 「 無視できる 」 と書いたが、本当にそうだろうか?

たしかに、θ や θ は、θより速く 0 に収束する。

しかし、sinθのテイラー展開は無限級数である。

よって、短絡的に 「 無視できる 」 と結論づけることは早計である。

しかし、問題はない。

考え方は次の2通りである。

(*1) テイラー展開の剰余項

(*2) 交代級数の理論

詳しいことは微分積分学の書物などを参照。

Z6 ( 非斉次線形微分方程式 )

次のようにおく。



f∈C(I)とおく。

次のような微分方程式を考える。

∈Sol(P、0) とおく。

このとき、Sol(P、0)=x+Sol(P、f) である。

証明

x∈Sol(P、0)とおく。

ここで、x−x=y とおく。

Py=P(x−x)=Px−Px=b−b=0

よって、y∈Sol(P、f)の解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y∈Sol(P、f)とおく。

P(x+y)=Px+Py=b+0=b である。

よって、x+y は Sol(P、0) の解である。

Z7

次のような状況を考える。



このとき、次が成り立つ。



その一般解は、

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

P=d/dt+k/m とおく。

いま、(1)の式は、Px=−g と表せる。

y=−mg/k とおく。

明らかに、y は Px=−g の1つの解である。

を、Px=0 の解とする。

つまり、Z4、Z5 より、



よって、(1)の一般解 x(t) は次のように表せる。(※Z5)

要請 ( ニュートンの第1法則 )

質点は外部から力を受けないとする。

このとき、質点は静止し続けるか等速直線運動を行うかのどちらかである。

これは 『 慣性の法則 』 とも呼ばれる。

要請 ( ニュートンの第2法則 )

次が成り立つ。

(1) F(t)=mα(t)

(2) F(t)=d(mv)/dt

とくに、(1)を 『 運動方程式 』 という。

ただし、(1)は、質量 m が変化しない場合の式である。

一方、(2)は、質量 m が時間的に変化する場合も含めている。

むろん、質量 m が一定の場合、(2)は(1)に一致する。

実際、F=d(mv)/dt=mdv/dt=mα である。

明らかに、(1)は次を意味する。



つまり、「 運動量変化 」=「 力積 」 である。

これについては後で定理として改めて掲載する。

(2)より、Δt を十分小とすると、mv(t+Δt)−mv(t)≒F(t)Δt である。

要請 ( ニュートンの第3法則 )

物体 A が物体 B に力 を与えるとする。

このとき、物体 A は物体 B から力 −F を受ける。

これを 『 作用・反作用の法則 』 と呼ぶこともある。

参考

いま、F=ma である。

F=0 とすると、a=0 となる。

すなわち、第2法則において F=0 とすれば、質点の速度 v が一定になる。

このように、一見すると、第2法則から第1法則が導かれるように見える。

なので、「 第1法則は不要なのでは?」 という意見がしばしば出る。

しかし、第1法則は 「 力というものが存在する 」 と主張している。

これは第2法則の前提となるものである。

後に出てくる慣性系という言葉を用いれば、「 第1法則は慣性系の存在を主張している 」 といえる。

慣性系とは、第1法則が成り立つ座標系のことである。

慣性系に立ってみると第2法則、第3法則が成立するのである。

逆に言えば、慣性系以外では、第2、第3法則をそのまま適用すべきではないという意味になる。

例えば、電車が発車するとき吊革が揺れる。

これに対して、

「 外部から力を受けていないのに吊革が動いた!ニュートンの第1法則は間違っている!」

・・・と主張する人がいるかもしれない。

その場合には、

「 電車に固定された座標系は慣性系ではない。よって、ニュートンの第1法則には違反しない 」

・・・と反論すればよいのである。

座標系などについては後で詳しく述べるので、意味が分からない場合は保留にしておいてよい。

Z8 ( 運動量の変化=力積 )

mr’’=F を運動方程式とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

とくに、F=0 ならば、mv(t)=mv(t)となる。

これは、質点に力が作用しなければ、運動量が一定となることを意味する。

つまり、運動量保存則である。

証明

mr’’=F の両辺を積分すると、



ここで、左辺は、次のように計算できる。

注意

mr’’=F を運動方程式とする。

力 F の例としては次のようなものがある。

(*1) 定ベクトル : 重力など

(*2) 位置に依存して変化する : バネなど

(*3) 速度に依存して変化する : 摩擦、粘性抵抗など

(*4) 時間に依存して変化する : 外部から機械的な力 f(t) が加えられる場合など

つまり、一般に、力は F(t、r(r)、r’(t)、・・・)と表される複雑な関数である。

もしかしたら、

「 r(t) から r’(t)が分かるから、r’は不要なのでは?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、それは違う。

実際、速度が同じでも位置が異なるようにできる。

つまり、r(t) と r’(t) は独立した変数と見なせる。

摩擦力−μdx/dt、バネの力−kx、外部からの機械的な力 f(t) が作用しているとしよう。

このとき、質点に作用する力は、−μdx/dt−kx+f(t)である。

Z9 ( 運動エネルギーの変化=仕事 )

F(x)を力の場とする。( ただし、ここでは1次元の運動のみを考える )

次が成り立つ。

補足

要請(ニュートンの第2法則)では F(t) となっていることに注意しよう。

一方、今回は F(x) である。

これは位置 x で、力 F(x) が物体に作用するという意味である。

ただし、物体の位置は時間的に変化するので x=x(t) と表せる。

証明〜その1

mr’’=F の両辺を積分すると、



ここで、左辺は次のように計算できる。(※置換積分の公式)

証明〜その2

いま、mv’(t)=F(x(t)) である。(※ニュートンの第2法則)

上式の両辺に v(t)=x’(t) を掛ける。

すると、mv(t)v’(t)=F(x(t))x’(t) である。

つまり、



両辺を t で微分すると、



いま、



よって、



一方、



よって、

証明〜その3

Δt を十分小とする。

いま、t〜t+Δt での速度の平均は、近似的に 2−1(v(t+Δt)+v(t)) である。

むろん、速度は1次関数ではないため、これは本当の平均ではない。

しかし、Δt を十分小とすれば、速度のグラフは直線と見なせる。

よって、平均速度は近似的に 2−1(v(t+Δt)+v(t)) であるとしてよい。

よって、Δx≒2−1(v(t+Δt)+v(t))Δt である。

一方、mv(t+Δt)−mv(t)≒F(x(t))Δt である。(※ニュートンの第2法則)

上式の両辺に 2−1(v(t+Δt)+v(t)) を掛ける。

すると、mv(t+Δt)/2−mv(t)/2≒F(x(t))Δx である。

Δt=(b−a)/n とおく。

=a+kΔt ( t=a、t=b ) とおく。

Δx=x(tk+1)−x(t)=x(t+Δt)−x(t) とおく。

すると、2−1mv(tk+1−2−1mv(t≒F(x(t))Δx である。

よって、

参考

Z4 の証明(*)に対して

「 このような計算をやってよいのだろうか? 」

・・・と疑問に感じた人がいるかもしれない。

実際、mx’’=F の両辺は t の関数である。

それを x で積分することは間違いであるように思える。

しかし、問題はない。

いま、時刻 t から t で、質点 x から x への移動したとする。



むろん、時刻 t に対して x は一意に定まる。

つまり、x(t)と表せる。

ここで、x(t)は単調増加であるとする。

すると、t と x はすべて1対1で対応する。

つまり、x(t)は閉区間 [ t、t ] から [ x、x ] への全単射である。

つまり、[ x、x ] から [ t、t ] への逆関数 t(x) が存在する。

先ほど、mx’’=F の両辺は t の関数であると述べた。

しかし、ここに t(x) を代入すれば、mx’’=F は x の関数である。

よって、mx’’=F の両辺を x で積分できる。

しかも、x と t はすべて1対1で対応している。

よって、これは mx’’(t)=F(t)を x の関数と見なして積分しているだけである。

ただし、次のような勘違いをしないように注意しよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、f(t)=t+1とし、t=2x とする。

f(t)を t に関して積分すると、



f(t)を x に関して積分すると、



ところが、t=2x を(*1)に代入しても、(*2)と一致しない。

これはどういうことであろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

非常に基本的な問題なので、これの解答は自ら考えるとよいだろう。

注意

既に注意したように、力は F(t、x(t)、x’(t)、・・・)の形で表せる。

ここで、F は x のみに依存すると仮定してみよう。

つまり、F(x)であり、F(x(t))である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば、重力やバネの力は x のみに依存する。

つまり、重力やバネは、以下の議論に含まれる。

しかし、摩擦などは該当しない。

むろん、時間に依存する外部からの機械的な力なども該当しない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

この仮定の下で、Z9 について別証明を与えることもできる。

いま、運動方程式は、mx’’=F(x)と表せる。

つまり、



両辺に v=dx/dt を掛けて、t に関して積分すると、



(*)の左辺を計算すると、



(*)の右辺は次のように計算できる。(※置換積分の公式)



ただし、x=x(t)、x=x(t)である。

以上により、

Z10 ( 運動エネルギーの変化=仕事 )

mr’’(t)=F を運動方程式とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

F=(F、F、F)とおく。

すると、



置換積分の公式より、



・・・と計算してはいけない。

なぜなら、F は実質的に多変数だからである。

実際、詳しく書くと、F(t、x(t)、y(t)、z(t)、x’(t)、y’(t)、z’(t)、・・・)である。

むろん、初歩的な数学で知られているように、多変数関数をある変数に関して積分することはできる。

例えば、2変数関数 f(x、y) を x に関して積分できる。

しかし、上記のように置換積分の公式を用いることは間違いである。

証明

いま、mv’(t)=F(t、r(t)、r’(t)、・・・)である。

両辺について、v=dr/dt で内積をとると、



成分で表すと、



上式の左辺は次のように計算できる。

Z11 ( 力学的エネルギー保存則:1次元 )

mx’’(t)=F を運動方程式とする。

ただし、力 F は x のみに依存すると仮定する。

( むろん、F は t に依存しているとも言える )

いま、次が成り立つ。(※Z9)



ただし、x は自由にとってよい。

式変形すると、



つまり、次の値は一定である。



この E を 『 力学的エネルギー 』 という。

証明

定理の中で述べた。

定義 ( 位置エネルギー )

mx’’(t)=F を運動方程式とする。

ただし、F は x にのみ依存するとする。

いま、次の値は一定である。(※Z11)



ここで、次のようにおく。



このとき、U(x)を 『 位置エネルギー 』 という。

また、x を 『 基点 』 という。

むろん、F(x)=−U’(x)である。

Z12 ( バネの振動 )

下図のように、バネにつながれた質点を考える。



ただし、バネの自然長を原点とする。

A を振幅とする。

また、原点を位置エネルギーの基点とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

いま、質点は x=−A から x=A の間を振動する。

x=A では v=0 である。

よって、x=A では E=U(x)=(1/2)kA である。

(3)の証明

明らかである。

参考 ( 谷における微小振動は単振動 )

力学的エネルギー保存則より、E=(1/2)mv+U(x)は一定である。

ところで、物理的には、つねに m>0 である。

つまり、つねに、(1/2)mv≧0 である。

よって、つねに、U(x)≦E である。

つまり、質点は U(x)≦E となる x の範囲にしか存在できない。

例えば、次のようなポテンシャル U(x) の谷を考えよう。



このとき、質点は a≦x≦b から抜け出せない。

いま、U(x)は x=0 で極小値 E をとると仮定しよう。

つまり、U’(0)=0 かつ U’’(0)≧0 である。

ここで、U(x)をマクローリン展開すると、



ここで、質点の力学的エネルギー E は、E よりわずかに大きいとする。

いま、高次の項 ( x、x、・・・ ) は無視できる。

つまり、近似的に次のように表せる。



ここで、k=U’’(0)とおく。

すると、U(x)=E+(1/2)x である。

これは単振動の場合と同じである。(※Z12)

つまり、ポテンシャルの谷での微小振動は単振動である。

この話は物理化学などの分野でよく登場する。

定義 ( 線積分 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

F(x、y、z)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

曲線上に分点 r (k=0、・・・、n) をとる。



次のように定義する。



これを 『 Γ上の線積分 』 という。

上式の右辺において、|Δ|→0 は分点は限りなく細かくとることを意味する。

これはよく知られている積分の定義と同じである。

ただ、定義域が直線ではなくて、曲線になっているだけである。

Z13

mr’’(t)=F を運動方程式とする。

Γを質点の経路とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

上式において、1つ目の等号は既に示した。(※Z10)

補足

つまり、線積分∫ΓF・dr は、普通の積分∫F・(dr/dt)dt に帰着する。

証明

F=(F、F、F)、r=(x、y、z)とおく。

すると、



図示すると、



ただし、上の計算は厳密ではない。

実際、積分の極限(Δs→0)と微分の極限(Δs→0)を同じように扱っている。

本当は、この部分をさらに詳しく議論すべきである。

しかし、ここでは省略する。

定義 ( 微分形式 )

既に示したように、



ここで、F=(F、F、F)とおく。

このとき、∫ΓF・dr を次のように表す。



とくに、F(x、y、z)dx+F(x、y、z)dy+F(x、y、z)dz を 『 微分形式 』 という。

ここでは微分形式は単なる記号と思ってよい。

微分形式をωで表すことが多い。

つまり、一般に線積分は∫Γωの形で表せる。

Z14

Γを、2つの曲線Γ とΓ をつなげた1つの曲線とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ∫−Γω=−∫Γω

(2) ∫Γω=∫Γω+∫Γω

証明

明らかである。

なぜなら、Z13 の補足で述べたように、線積分は普通の積分の形で表せるからである。

積分について(1)や(2)と同様の関係が成り立つことは既知であろう。

参考 ( 線積分の定義〜一般化 )

Γ:[a、b]→ を区分的に C級な曲線とする。

f: を実数値連続関数とする。

Δ : a=t<t<・・・<t=b を [a、b] を分割とする。

いま、Γ(t)はΓ上の分点である。

=d(Γ(tk−1)−Γ(t))とおく。

つまり、s はΓ(tk−1)とΓ(t)の距離である。

このとき、lim|Δ|→01≦k≦N−1f(Γ)s は収束する。(★)

そこで、これを∫Γfds と表す。

このとき、∫Γfds を 『 f のΓに沿った線積分 』 という。

(★)について補足

微分積分でよく知られているように、次が成り立つ。

(*) 有界閉区間上の連続関数は積分可能である。

上の(★)は、この(*)とほぼ同様に示される。

最初、私たちは、fds として F・dr を考えていた。

f は実数値関数で、F はベクトル値関数だが、F・dr は内積を考えているので実数値である。

f=1の場合、∫Γ1ds は 『 曲線の長さ 』 を意味する。

このように、今回の定義 ∫Γfds は、∫ΓF・dr や曲線の長さの一般化である。

一口に 『 線積分 』 と言っても、色々な定義があり、それらは互いに関連している。

注意

ΓF・dr を線積分とする。

Γの始点を a、終点を b とする。

このとき、次のように表す。

定義 ( ポテンシャル )

F(x、y、z)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

ある実数値関数φ(x)が存在して、F=−gradφと表せるとする。

このとき、φを 『 F のポテンシャル 』 という。

参考

既に、私たちは1次元の運動に対して力学的エネルギー保存則を導いた。

では、3次元の場合はどうなるのだろうか?

何となく、そのまま拡張できそうな気がするかもしれない。

しかし、そうではない。

3次元の場合は、一般に力学的エネルギー保存則が成り立つとは限らない。

なぜか?

1次元の場合から類推して、3次元の位置エネルギーを次のように定義しよう。



明らかに、この線積分の値は経路に依存する。

1次元の場合、経路によって位置エネルギー U(x) が異なることはなかった。

なぜなら、1次元の場合は経路が1つしかないからである。

そこで、次の概念を用意する。

定義 ( 保存力 )

F を3変数3次元ベクトル値関数とする。

ΓF・dr が線積分の経路に依存せず、一意に定まるとする。

このとき、F を 『 保存力 』 という。

なるほど、たしかに、保存力は有用だろう。

しかし、この定義だけでは、保存力が何なのか視えてこない。

そこで、次の定理である。

Z15 ( 保存力に対する同値条件〜その1 )

F を3変数3次元ベクトル値関数とする。

このとき、次は同値である。

(1) F は保存力である。

(2) ある実数値関数 U(r) が存在して、F=−gradU と表せる。

補足

つまり、Fが保存力であることと、F がポテンシャルをもつことは同値である。

(1)⇒(2)の証明

まず、力 F が2次元の場合について考える。

次のような経路を考える。



Γ=Γ11+Γ12 とおく。

U(r)=−∫ΓF・dr=−∫Γ11F・dr−∫Γ12F・dr と定義する。(★1)

また、Γ11(s)=(x(s)、y(s))=(x、s)である。

ただし、s は変数で、y≦s≦y である。

いま、dx/ds=0、dy/ds=1である。

よって、Z13より、



一方、F12(s)=(x(s)、y(s))=(s、y)である。

ただし、s は変数で、x≦s≦x である。

よって、Z13より、



よって、



よって、



一方、次のような経路を考える。



Γ=Γ21+Γ22 とおく。

U(r)=−∫ΓF・dr=−∫Γ21F・dr=−∫Γ22F・dr と定義する。(★2)

上と同様の計算より、



以上により、F(x、y)=(F、F)=−(∂U/∂x、∂U/∂y)=−gradU である。

ここでは2次元の場合について書いが、明らかに、同様のことは3次元についても成り立つ。

補足

上の証明において、(★1)と(★2)では U の定義が異なることに注意。

しかし、仮定(1)より、F は保存力である。

よって、(★1)と(★2)は、同一の U であると考えてよい。

だから、上記のように結論してよいのである。

(2)⇒(1)の証明

(2)を仮定する。

いま、ある実数値関数 U(r) が存在して、F=−gradU であるとする。

つまり、F=−(∂U/∂x、∂U/∂y、∂U/∂z)である。

=r(s)をΓの始点とする。

=r(s)をΓの終点とする。

いま、



つまり、∫ΓF・dr の値は、始点 r と終点 r のみによって定まる。

Z16 ( 保存力に対する同値条件〜その2 )

F(x、y、z)を3変数3次元ベクトル値関数とする。

ただし、F は穴が空いていない領域で定義されているとする。

このとき、次は同値である。

(1) F は保存力である。

(2) ある実数値関数 U(x、y、z) が存在して、F=−gradU と表せる。

(3) rotF=0

証明

これの証明は省略する。

この定理は後の議論で直接的につかうわけではない。

Z17 ( grad の物理的意味 )

f(x、y)を2変数実数値関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) gradf は f の等高線と直交する。

(2) gradf は f が増加する方向を向いている。

補足

f の等高線とは、c∈ に対して f(x、y)=c を満たす点(x、y)全体である。

図示すると、

(1)の証明 ( ただし、簡易的な証明 )

f(x、y)=c とする。

f(x+Δx、y+Δy)=c とする。

つまり、(x、y)と(x+Δx、y+Δy)は同じ等高線上にある。

いま、次が成り立つ。(※2変数のテイラー展開)



上式の右辺の 「 ・・・ 」 には、Δx と Δy の2次以上の項が入る。

つまり、Δx と Δy を十分小さくとれば、これは無視できる。

よって、近似的に、



いま、f(x+Δ、y+Δy)=f(x、y)=c であるから、



つまり、(∂f/∂x、∂f/∂y)・(Δx、Δy)=0 である。

つまり、(gradf)・(Δx、Δy)=0 である。

(2)の証明 ( ただし、簡易的な証明 )

既に上にも書いたように、近似的に、



λ>0 とする。

(Δx、Δy)=λgradf とする。

つまり、gradf の方向に進む。

いま、Δx=λ∂f/∂x、Δy=λ∂f/∂y である。

よって、



つまり、近似的に、f(x+Δx、y+Δy)−f(x、y)=λ|gradf| である。

上式の右辺は >0 である。

つまり、gradf の方向に進むと、f の値は増加する。

定義 ( 中心力 )

F(r)を、位置ベクトル r と平行な力とする。

このとき、F(r)を 『 中心力 』 という。

つまり、ある実数値関数 f(r) が存在して、F(r)=f(r)e と表せる。

ただし、e=r/|r|である。

つまり、e は r 方向の単位ベクトルである。

Z18 ( 角運動量保存則 )

mr’’(t)=F を運動方程式とする。

F は中心力であるとする。

このとき、外積 r(t)×mv(t)は一定である。

証明

いま、mr’’=F である。

両辺について r との外積を考え、積分すると、



一方、(r×mv)’=r’×mv+r×mv’=v×mv+r×mv’=r×mv’である。

よって、



よって、r(t)×mv(t)=r(t)×mv(t)である。

Z19

中心力は保存力である。

補足

つまり、重力や静電気は保存力である。

補足

この定理の証明に Z17 を用いることはできない。

なぜなら、中心力は原点で定義されていないからである。

証明

重力や静電気は次の形で表せる。



実際、k=−GMm とすれば重力であり、k=Cq とすれば静電気である。

一方、



同様に、



そこで、U(r)=k/r とおく。

すると、F=−gradU である。

よって、F は保存力である。(※Z15)