スターリングの公式、ガウス積分、ガンマ関数、N次元球の体積、ゼータ関数

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P1 ( スターリングの公式 )

自然数 n が n>>1 であるとする。

このとき、次の近似が成り立つ。

(1) ln(n!)≒nln(n)−n

(2) n!≒n−n

補足

ちなみに、さらに精密なスターリングの公式として n!≒√(2πn)n−n がある。

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

(1)より、ln(n!)≒n(ln(n)−1)=n(ln−lne)=nln(n/e)である。

よって、n!≒n−n である。

P2 ( ガウス積分 )

次が成り立つ。

補足

ただし、(2n−1)!!=(2n−1)(2n−3)・・・3・1 である。

(1)の証明〜その1

まず、次の積分を考える。



ここで、r=x+y とおく。

すると、積分 I は exp(−ar) と xy 平面に挟まれる体積である。

とくに、半径 r と半径 r+dr の円柱で挟まれた領域の体積は 2πrexp(−ar) である。

これを r=0 から r=∞ まで積分すると、その値は I に一致する。

つまり、



一方、



よって、



よって、

(1)の証明〜その2

次のようにおく。



いま、

(2)の証明

次のようにおく。



いま、



よって、(1)より、



さらに、I を部分積分すると、



よって、



以上の手順を繰り返せばよい。

(3)の証明

いま、



また、



よって、



以上の手順を繰り返せばよい。

P3 ( ガンマ関数の性質 )

次のように定義する。



この関数 Γ(α) を 『 ガンマ関数 』 という。

このとき、

(1) Γ(1)=1

(2) Γ(1/2)=√π

(3) Γ(α+1)=αΓ(α)

(4) Γ(n+1)=n! ( n=0、1、・・・ )

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。(※P2:ガウス積分)

(3)の証明

次のように計算できる。

(4)の証明

(3)より明らかである。

P4 ( n次元球の体積 )

次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



これは V(R)=a の形で表されると予想できる。

いま、次のように計算できる。(※P2:ガウス積分)



また、半径 r の n 次元球面の表面積は、



この S(r) に厚み dr を掛けたものは、超体積要素 dq・・・dq に等しい。

つまり、dq・・・dq=nan−1dr である。

よって、次のように計算できる。(※P3:ガンマ関数)



(*1)と(*2)より、



よって、

参考

P4 の証明では次の計算を認めていた。



この計算の正当性を確認する。

証明

(*1)を満たす a が存在することを示し、その a が次のように表されることを示せばよい。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



よって、a=1 である。

つまり、n=1に対して(*1)と(*2)が示された。(★1)

いま、



よって、a=π である。

つまり、n=2 に対して(*1)と(*2)が成り立つ。(★2)

n=k の場合に対して(*1)と(*2)が成り立つと仮定する。(数学的帰納法)

いま、



よって、



つまり、n=k+2 に対して(*1)と(*2)が示された。(★3)

(★1)〜(★3)より、任意の自然数 n に対して(*1)と(*2)が示された。

P5 ( ゼータ関数 )

次のように定義する。



このとき、ζ(α)を 『 ゼータ関数 』 という。

ただし、αは複素数であり、Re(α)>1 である。

このとき、次が成り立つ。

補足

ちなみに、次が成り立つことが知られている。(※フーリエ解析)

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

次のように計算できる。



ただし、最後の計算では次のことに注意する。