チェビシェフ微分方程式、チェビシェフ多項式

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定義 ( 級数解 )

微分方程式の解で、巾級数で表されるものを 『 級数解 』 という。

定義 ( 正則点 )

y’’(x)+P(x)y’(x)+Q(x)y(x)=0 を微分方程式とする。(★)

P と Q は x=a まわりでテイラー展開可能であるとする。

このとき、a を 『 (★)の正則点 』 という。

とくに、(★)が定数係数ならば、任意の点 x=a は正則点である。

参考 ( 級数解の解空間 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を微分方程式とする。(★)

点 x=a を(★)の正則点とする。

これらは|x−a|<R で収束し、|x−a|≦R で連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x と x を定めると、級数解 y(x)=0≦k≦∞(x−a) が定まる。

(2) (1)の級数解は|x−a|<R で収束する。

ここではこれの証明を省略する。

定義 ( チェビシェフ微分方程式 )

(1−x)y’’(x)−xy’(x)+ny(x)=0 を微分方程式とする。(★)

ただし、n は非負整数であるとする。

このとき、(★)を 『 チェビシェフ微分方程式 』 という。

P1 ( チェビシェフ微分方程式の基本解 )

(1−x)y’’−xy’+ny=0 をチェビシェフ微分方程式とする。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) 基本解として yn、1(x)=0≦k≦∞2k2k、yn、2(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 を採用できる。

(2) yn、1 と yn、2 のうち、いずれか一方だけは多項式である。

補足

ただし、a の意味は証明中で述べる。

補足

(★)の両辺を 1−x で割る。

すると、y’’−x(1−x−1y’+n(1−x−1y=0 である。

よく知られているように、|x|<1 ならば (1−x−10≦k≦∞2k は収束する。

つまり、x=0 は(★)の正則点である。

よって、|x|<1の範囲で級数解を求めることができる。

(1)の証明

いま、x=0 は(★)の正則点である。

そこで、y=0≦k≦∞ を、( x=0 まわりでの ) 級数解とする。

これを(★)に代入すると、



式変形すると、



よって、



つまり、上式の各係数は 0 である。

よって、



いま、



よって、





ここで、a=a≠0 とする。

n、1(x)=0≦k≦∞2k2k、yn、2(x)=0≦k≦∞2k+12k+1 とおく。

明らかに、yn、1(x) と yn、2(x) は1次独立であり、(★)の解を生成する。

(2)の証明

n=2m の場合、a2m+2=a2m+4=・・・=0 である。

よって、y2m、1 は 2m 次多項式である。

また、y2m、2 は多項式ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n=2m+1 の場合、a2m+3=a2m+5=・・・=0 である。

よって、y2m+1、2 は 2m+1 次多項式である。

また、y2m+1、1 は多項式ではない。

定義 ( チェビシェフ多項式 )

(1−x)y’’−xy’+ny=0 をチェビシェフ微分方程式とする。(★)

P1の状況を引き継ぐ。

n=2m、a=(−1) に対し、T2m(x)=y2m、1(x)と定める。

n=2m+1、a=(−1)2m+1(2m+1) に対し、T2m+1(x)=y2m+1、2(x)と定める。

明らかに、T(x)=1、T(x)=x である。