ディラック方程式の離散的不変性(C変換、P変換、T変換)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(0) ゲージ場

(1) ディラック方程式のP変換(空間反転)不変性

(2) ディラック方程式のT変換(時間反転)不変性

(3) ディラック方程式のC変換(荷電共役)不変性

よく知られているように、ディラック方程式はローレンツ変換不変性をもつ。

一方、今回はP変換不変性、T変換不変性、C変換不変性を示す。

ローレンツ変換は連続的変換であり、P変換・T変換・C変換は離散的変換である。

連続的変換は無限小の積み重ねで記述できるが、離散的変換は連続変換では実現できない。

復習 ( スピノル変換行列 )

ディラック方程式は、



ψはローレンツ変換に対してψ’(x’)=S(∧)ψ(x)のように線形変換されると仮定する。

ここで、ディラック方程式にローレンツ共変性を要請する。

すると、



上式を満たすS(∧)は次のように表される。



ただし、



このようなS(∧)を 『 ∧に伴うスピノルの変換行列 』 という。

S(∧)の存在はディラック方程式がローレンツ共変性をもつことを意味する。

なぜなら、S(∧)の存在は方程式が矛盾なく変換されることを意味するからである。

定義 ( 反変ベクトル、共変ベクトル )

x’=∧(V)x をローレンツ変換とする。

変換則 u’=∧(V)u をもつ量 u を 『 反変ベクトル 』 という。

変換則 u’=∧(−V)u をもつ量 u を 『 共変ベクトル 』 という。

∧(−V)は∧(V)の逆行列である。

実際、

復習 ( 添字の上げ下げ )

次のように定める。

つまり、ημνは添字を上げ下げする。

ただし、ημνはミンコフスキ計量である。

つまり、

参考

(1) ∂μ は共変ベクトルである。

(2) ∂μ は反変ベクトルである。

補足

むろん、∂μ=ημννである。

(1)の証明

いま、



よって、





よって、

(2)の証明

(1)より明らかである。(※定義:添字の上げ下げ)

復習 ( スカラーポテンシャルの存在、ベクトルポテンシャルの存在 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

補足

(2)は(1)の逆に相当する。

(4)は(3)の逆に相当する。

定義 ( ゲージ場 )

電場 E と磁場 B を次のように表せる。



このとき、Aμ=(A、A)を 『 ゲージ場 』 という。

(*)の証明

マクスウェル方程式は、



(*1)より、あるベクトル A が存在して B=∇×A となる。(※復習:ベクトルポテンシャルの存在)

これを(*2)に代入すると、∇×(E+∂A/∂t)=0 である。

よって、あるスカラー場 A が存在して E+∂A/∂t=−∇A となる。(※復習:スカラーポテンシャルの存在)

と A をまとめて Aμ=(A、A) と表示する。

P1 ( ゲージ場の空間反転 )

μ=(x、x)→x’μ=(x’、x’)=(x、−x)を空間反転とする。

μν を空間反転の行列表示とする。

このとき、

補足

むろん、空間反転 ∧μν は次のように表せる。



むろん、∧−1=∧ である。

補足

つまり、∧ は∂μ と同じ変換則をもつ。

証明

ニュートン力学における荷電粒子の運動方程式は、



空間反転の不変性を要請すると、



つまり、空間反転(x’=−x)に対して(*1)と(*2)が矛盾なく成り立つ。

そのための条件は E’(x’)=−E(x) と B’(x’)=+B(x) である。

一方、E=−∂A/∂t−∇A と B=∇×A である。(※定義:ゲージ場)

よって、A’(x’)=+A(x) と A’(x’)=−A(x) である。

これを下付きに変換すると結論を得る。

P2 ( ゲージ場の時間反転 )

μ=(x、x)→x’μ=(x’、x’)=(−x、x)を時間反転とする。

μν を時間反転の行列表示とする。

このとき、

証明

ニュートン力学における荷電粒子の運動方程式は、



時間反転の不変性を要請すると、



つまり、時間反転(t’=−t)に対して(*1)と(*2)が矛盾なく成り立つ。

そのための条件は E’(x’)=+E(x) と B’(x’)=−B(x) である。

一方、E=−∂A/∂t−∇A と B=∇×A である。(※定義:ゲージ場)

よって、A’(x’)=+A(x) と A’(x’)=−A(x) である。

これを下付きに変換すると結論を得る。

P3 ( ディラック方程式(荷電粒子ver)のP変換不変性 )

μ=(x、x)→x’μ=(x’、x’)=(x、−x)を空間反転とする。

を空間反転に伴う行列とする。

ψ’(x’)=S(∧)ψ(x)と表せると仮定する。(★1)

ディラック方程式(荷電粒子ver)の空間反転不変性を要請する。(★2)

このとき、



条件(1)を満たすS(∧)は次のように表せる。

補足

ηは 『 固有パリティ 』 と呼ばれる位相因子である。

(1)の証明

むろん、(★2)は次を意味する。



いま、次が成り立つ。(※P1)



よって、結論を得る。(※復習(スピノル変換行列)と同じ)

(2)の証明

いま、



よって、結論を得る。

P4 ( ディラック方程式(荷電粒子ver)のT変換不変性 )

μ=(x、x)→x’μ=(x’、x’)=(−x、x)を空間反転とする。

を時間反転に伴う行列とする。

ψ’(x’)=Tψ(x)と表せると仮定する。(★1)

ディラック方程式(荷電粒子ver)の時間反転不変性を要請する。(★2)

このとき、



条件(1)を満たす T は次のように表せる。

補足

ちなみに、T=T−1=−T=T=T である。

(1)の証明

Kψ=ψ と定義する。( つまり K はψの複素共役をとる演算子である )

いま、aKψ=aψ=(aψ=(aψ)=K(aψ)である。

また、次が成り立つ。(※P2)



よって、(1)と(★1)より、次のように計算できる。



つまり、ディラック方程式(荷電粒子ver)は時間反転に対して不変である。

つまり、要請(★2)が満たされた。

上の計算は(1)を用いることで示されたので(1)は正当である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(補足)

上の証明では(1)の証明で(1)を用いている。

これに対して 「 これは循環論法では? 」 という疑問をもつ人がいるかもしれない。

しかし、これは循環論法ではない。

もし違和感をもつのであれば、係数比較によって示してもよい。

つまり、「(1)を用いる直前の式 」 と 「 示すべき式 」 の係数を比較すれば結論を得る。

(2)の証明

ディラック表示では次が成り立つ。



よって、(2)は(1)を満たす。

P5 ( ディラック方程式(荷電粒子ver)のC変換不変性 )

ψ を反粒子とする。

ψ=Cψ=C(γψ) と表せるとする。(★1)

( 定義 ψ=ψγ を 『 ψのディラック共役 』 という )

ディラック方程式(荷電粒子ver)の荷電共役変換不変性を仮定する。(★2)

このとき、



条件(1)を満たす C は次のように表せる。

補足

ちなみに、C=−C−1=−C=−C=C である。

また、(ψ=ψである。

補足

むろん、荷電共役変換不変性は次を意味する。



電荷を伴う項の符号は反転している。

ただし、ゲージ場の荷電共役 Aμ=−Aμ を定義して書き換えると、

(1)の証明

[iγμ(∂μ+iqAμ)−mI]ψ=0 をディラック方程式(荷電粒子ver)とする。

複素共役をとると、[−i(γμ(∂μ−iqAμ)−mI]ψ=0 である。(★3)

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いま、(γ=γ であり、(γ=−γ (j=1、2、3) である。

また、γγ=−γγ (j=1、2、3) である。

よって、γ(γμγ=γμである。

よって、(γμ=(γ(γμ(γ である。(★4)

いま、(γ=I である。

よって、(γ=I である。(★5)

また、(γψ=((γψ)=(ψψψ である。(★6)

(★4)を(★3)を代入して(★6)を用いる。

さらに、左から(γを掛けて(★5)を用いる。

すると、[−i(γμ(∂μ−iqAμ)−mIψ=0 である。

さらに、左から C を掛けて定理の式(1)を用いる。

すると、[iγμ(∂μ−iqAμ)−mI]ψ=0 である。

つまり、要請(★2)が満たされた。

上の結果は定理の式(1)を用いて成されたので、式(1)は正当である。( むろん係数比較で示したもよい )

(2)の証明

ディラック表示では次が成り立つ。



よって、(2)は(1)を満たす。