第1基本量、第1基本形式による面積分の計算

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参考

このページではトーラス(輪環面)の曲面積を計算する。

その過程で第1基本量、第1基本形式などを扱う。

ただし、これは単なる表記の書き換えであって、内容は簡単である。

定義 ( 曲面積 )

φ:D→ を曲面とする。

次のように定める。



このとき、A[φ](D) を 『 φの曲面積 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

実際、これがよく知られている曲面積に相当するものであるか否かが示されていない。

そこで、背景を説明する。

まず、uv平面において微小長方形領域 [u、u+Δu]×[v、v+Δv] を考える。

いま、次の近似式が成り立つ。(※テイラー展開)

(*1) φ(u+Δu、v)−φ(u、v)≒φ(u、v)Δu

(*2) φ(u、v+Δv)−φ(u、v)≒φ(u、v)Δv

(*3) φ(u+Δu、v+Δv)−φ(u、v)≒φ(u、v)Δu+φ(u、v)Δv

よって、[u、u+Δu]×[v、v+Δv] に対応する曲面上の領域は、次を頂点とする平行四辺形で近似される。

(**1) φ(u、v)

(**2) φ(u、v)+φ(u、v)Δu

(**3) φ(u、v)+φ(u、v)Δv

(**4) φ(u、v)+φ(u、v)Δu+φ(u、v)Δv

この平行四辺形の面積は、|φ(u、v)Δu×φ(u、v)Δv|=|φ(u、v)×φ(u、v)|ΔuΔv である。

そこで、これら微小面積をすべて合わせると、∬|φ(u、v)×φ(u、v)|dudv となる。

以上の議論は厳密な証明ではないが、その概略を示したものである。

定義 ( 第1基本行列、第1基本量 )

φ:D→ を曲面とする。

E=φ・φ、F=φ・φ、G=φ・φ とおく。

次のように定める。



このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

P1 ( 曲面積は第1基本量で表示できる )

φ:D→ を曲面とする。

このとき、|φ(u、v)×φ(u、v)|=EG−F=detI である。

つまり、

補足

つまり、

証明

v、w∈ に対し、



つまり、(v、v)(w、w)−(v、w)=|v×w| である。( これを 『 ラグランジュの恒等式 』 という )

よって、EG−F=|φ×φ である。

定義 ( 外微分、全微分 )

f:D→ を2変数実数値関数とする。

df(u、v)=f(u、v)du+f(u、v)dv と定義する。

このとき、df を 『 f の外微分 』 または 『 f の全微分 』 という。

Δf=f(u+Δu、v+Δv)−f(u、v) とおく。

いま、近似的に Δf≒f(u、v)Δu+f(u、v)Δv である。(※テイラー展開)

外微分 df=fdv+fdv はこれを表したものであると見なすことができる。

定義 ( 第1基本形式 )

φ:D→ を曲面とする。

E=φ・φ、F=φ・φ、G=φ・φ とおく。

ds=Edu+2Fdudv+Gdv と定める。

このとき、ds を 『 第1基本形式 』 という。

明らかに、ds=dφ・dφ と表示できる。

曲面上の2点 φ(u、v) と φ(u+Δu、v+Δv) の距離 Δs は次のように近似できる。(※テイラー展開)



第1基本形式は、これを表したものであると見なすことができる。

参考 ( トーラスの曲面積 )

次のように定める。



ただし、0<R<a であるとする。

このとき、A[φ]=(2π)aR である。

補足

点(a、0、0)を中心とする半径 R の ( xz 平面上の ) 円を考える。

φは、この円を z 軸まわりに回転させることで得られる図形である。

このような図形を 『 トーラス 』 という。

図示すると、

証明〜その1

いま、



よって、ds=Rdu+(a+Rcosu)dv である。

つまり、E=R、F=0、G=(a+Rcosu) である。

よって、次のように計算できる。(※P1)

証明〜その2

いま、E=φ・φ=R、F=φ・φ=0、E=φ・φ=(a+Rcosu) である。

よって、次のように計算できる。(※P1)