ストークス解〜フーリエ積分による導出

サイトのTOP→理系インデックス





定義 ( フーリエ変換 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 フーリエ変換 』 という。

つまり、フーリエ変換はフーリエ級数の極限と見なせる。(※P4)

定義 ( フーリエ逆変換 )

g(ω) を区分的に滑らかな関数とする。

g(ω) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F−1 を 『 フーリエ逆変換 』 という。

P1 ( フーリエの積分公式 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(*)を 『 フーリエの積分公式 』 という。

これはそのままフーリエ変換の定義に用いられる。

補足

ただし、f が不連続となる点 x で、(*)左辺の f(x) を 2−1(f(x+0)+f(x−0)) に置き換えるとする。

証明 ( 直観的 )

f(x) は周期 2L の関数であると仮定する。

いま、



つまり、



ここで、ω=nπ/L、Δω=ω−ωn−1=π/L とおく。

いま、



リーマン積分の定義では、



よって、L→∞ とすると、

P2 ( フーリエの積分公式〜改 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

このとき、

証明

P1より、

P3 ( フーリエ変換の公式 )

次が成り立つ。

証明

よく知られているので省略する。

P4 ( 補題 )

次のようにおく。



このとき、

補足

ただし、H(x) は 『 ヘヴィサイドのステップ関数 』 である。

つまり、

証明

g(x)=H(x+1)−H(x−1) とおく。

いま、



いま、f(x)=g(x/L) である。

よって、次のように計算できる。(※P3)

P5 ( ストークス解〜フーリエ積分による導出 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

証明

(★)をフーリエ変換すると、次が成り立つ。(※P3(1))



また、初期条件より、



(*1)と(*2)は簡単に解ける。(※落ち着いて観察すれば、普通の常微分方程式である)

これを解くと、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以下、(*3)のフーリエ逆変換を求める。

まず、むろん、F[f(x)](ω)の逆変換は f(x) である。

また、



よって、次のように計算できる。(※P3(1)、P1)



ただし、P1(フーリエ積分公式)の x を x+ct と x−ct に置き換えて用いた。

また、P4 より、



よって、P3(2)より、



以上により、