ストークス解〜特性曲線による導出

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定義 ( 特性曲線 )

P(x、y、u)u+Q(x、y、u)u=R(x、y、u) を1階偏微分方程式とする。(★)

ただし、u=u(x、y) である。

いま、ある媒介変数 s が存在して、次が成り立つとする。



いま、



まとめると、



つまり、(★)が3つの常微分方程式(*1)〜(*3)に帰着された。

(*1)〜(*3)は (x、y、u) 空間上の曲線を意味する。

このような曲線を 『 特性曲線 』 という。

特性曲線の xy 平面上への正射影を 『 基礎曲線 』 という。

解曲面上の曲線で、その正射影がすべて基礎曲線と交わるものを 『 初期曲線 』 という。

(★)の解 u=u(x、y) を 『 解曲面 』 という。

むろん、特性曲線は、解曲面上の曲線である。

解曲面上の点を1つ指定すれば、その点を通る特性曲線が定まる。

初期曲線を指定すると、これを特性曲線に沿って動かすことで解曲面を構成できる。

参考 ( 具体例 )

+u=xu を偏微分方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は、u(x、y)=φ(y−x)exp(x/2) である。

証明

いま、(★)の特性曲線は、



よって、x(s、θ)=s+x(θ)、y(s、θ)=s+y(θ)とすればよい。(★1)

ただし、s は特性曲線のパラメータである。

また、θは曲線群を区別するパラメータである。

(★1)、(*)より、u’=(s+x)u である。

よって、u(s、θ)=u(θ)exp(s/2+xs) である。

いま、(★1)から s を消去すると、y(s、θ)=x(s、θ)+y(θ)−x(θ)である。

ここで、θを固定すれば、y=x+(定数) と見なせる。

つまり、各特性曲線は、y=x+(定数) の形をしている。

よって、初期曲線の正射影として y 軸を採用できる。(※定義:初期曲線)

つまり、初期曲線は (x、y、u)=(0、θ、φ(θ)) の形で表せる。

ここで、この初期曲線は特性曲線群の s=0 の点を通るものであるとする。

つまり、x(0、θ)=0、y(0、θ)=θ、u(0、θ)=φ(θ) とする。

すると、x=0、y=θ、u=φ(θ) である。

よって、x(s、θ)=s、y(s、θ)=s+θ、u(s、θ)=φ(θ)exp(s/2) である。

上式から s と θ を消去すると、u(x、y)=φ(y−x)exp(x/2) である。

P1 ( ストークス解〜特性曲線による導出 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) を初期条件とする。

このとき、(★)の解は、

証明

x=x(s)、t=t(s) と表せると仮定する。

いま、



上式から utx を消去すると、



ここで、(dt/ds)=1、(dx/ds)=c と仮定する。

すると、上式の右辺は 0 となる。

とくに、dt/ds=+1 を採用すると、



(*1)と(*2)より、t(s、θ)=s+t(θ)、x(s、θ)=±cs+x(θ)である。(★1)

(*3)より、



よって、



いま、(★1)から s を消去すると、x=±ct+(θの関数) である。

ここで、θを固定すれば、x=±ct+(定数) と見なせる。

つまり、各特性曲線は x=±ct+(定数) の形である。

よって、初期条件の正射影として t 軸を採用できる。

つまり、初期曲線は、(x、t、u)=(0、θ、ψ(θ)) の形で表せる。

ここで、この初期曲線は特性曲線群の s=0 の点を通るものであるとする。

つまり、t(0、θ)=0、x(0、θ)=θ、u(0、θ)=u(θ)=ψ(θ) である。

すると、t=0、x=θ、∂u/∂t−(±c∂u/∂t)=ψ(θ) である。

よって、t=s、x=±cs+θ、∂u/∂t−(±c∂u/∂x)=ψ(θ) である。

よって、∂u/∂t−(±c∂u/∂t)=ψ(x−(±ct))である。

( dt/ds=−1の場合も同じ結果を得る )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

つまり、u−(±cu)=ψ(x−(±ct))である。(★★)

この式に対して再び特性曲線による方法を用いる。

(★★)の特性曲線は、



いま、(**1)、(**2)より、t(s、θ)=s+t(θ)、x(s、θ)=−(±cs)+x(θ) である。(★2)

よって、(**3)より、u’=ψ(−(±2cs)+x−(±ct)) である。

よって、



いま、(★2)から s を消去すると、x=−(±ct)+(θの関数) である。

よって、初期曲線の正射影として t 軸を採用できる。

つまり、初期曲線は、(x、t、u)=(0、θ、φ(θ)) の形で表せる。

ここで、この初期曲線は、特性曲線群の s=0 の点を通るものであるとする。

つまり、t(0、θ)=0、x(0、θ)=θ、u(0、θ)=φ(θ) である。

すると、



よって、



s と θ を消去すると、



つまり、2つの解を得た。

よって、その和も解となる。(※重ね合わせの原理)

よって、



いま、初期条件は、u(x、0)=f(x)、u(x、0)=g(x) である。

よって、2ψ(x)=f(x)、2φ(x)=g(x) である。

よって、