第1基本行列は歪みの総量を表し、第2基本行列は凹凸を表す

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定義 ( 外微分〜その1 )

f(u、v) を2変数実数値関数とする。

df(u、v)=f(u、v)du+f(u、v)dv と定義する。

このとき、df を 『 f の外微分 』 または 『 f の全微分 』 という。

Δf=f(u+Δu、v+Δv)−f(u、v) とおく。

いま、近似的に Δf≒f(u、v)Δu+f(u、v)Δv である。(※テイラー展開)

外微分 df=fdv+fdv はこれを表したものであると見なすことができる。

定義 ( 外微分〜その2 )

φ(u、v) を曲面とする。

dφ(u、v)=φ(u、v)du+φ(u、v)dv と定義する。

このとき、dφ を 『 φの外微分 』 という。

φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))とおくと、dφ=(dx、dy、dz) である。

むろん、dx、dy、dz は定義(外微分〜その1)に基づく。

次のように表しても意味は同じである。

定義 ( 第1基本行列、第1基本形式 )

φ(u、v) を曲面とする。

次のように定める。



ただし、

(*1) E=φ・φ

(*2) F=φ・φ

(*3) G=φ・φ

このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、Tを 『 第1基本形式 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

曲面上の2点 φ(u、v) と φ(u+Δu、v+Δv) の距離 Δs は次のように近似できる。(※テイラー展開)



第1基本形式は、これを表したものであると見なすことができる。

dφを行列で表すと、次のように表せる。

第1基本行列を用いると、第1基本形式を次のように表せる。

注意 ( 曲面の向き )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v)=φ×φ/|φ×φ|と定義する。

このとき、n を 『 φの向き 』 という。

むろん、n はφの単位法ベクトル場である。

定義 ( 第2基本行列、第2基本形式 )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v) をφの向きとする。

次のように定める。



ただし、

(*1) L=−φ・n=φuu・n

(*2) M=−φ・n=−φ・n=φuv・n

(*3) N=−φ・n=φvv・n

このとき、U を 『 第2基本行列 』 という。

また、Uを 『 第2基本形式 』 という。

また、U を 『 φの第2基本形式 』 という。

(*1)〜(*3)の証明

いま、φ と φ は n と直交する。

つまり、φ・n=0、φ・n=0 である。

よって、両辺を偏微分すると、(*1)〜(*3)を得る。

第2基本行列を用いると、第2基本形式を次のように表せる。

明らかに、U=−dφ・dn=−(φdu+φdv)・(ndu+ndv)=Ldu+2Mdudv+Ndv である。

注意

上の定義では、T と T で記号を書き換えた。

しかし、実際には両方とも区別なくTと表すことも多い。

これらの違いは文脈で判断できる。

P1 ( 第1基本量は曲面の歪みの総量を表す )

φ:D→ を曲面とする。

Γ:I→D を曲線とする。( つまり、Γは平面曲線である )

このとき、次が成り立つ。

補足

曲線Γの長さは∫|Γ’(t)|dt で表される。

では、Γに対応する曲面上の曲線 φ*Γ の長さは?

今回の定理は、その計算に役立つことが分かる。

つまり、第1基本行列 I が分かっていれば計算できる。

とくに、I が各点で単位行列であれば、Γ と φ*Γ の長さは一致する。

証明

既に注意したように、dφを行列で表すと、



すると、次のように計算できる。

P2 ( 第2基本行列は曲面の凹凸を表す )

φ:D→ を曲面とする。

=(u、v)∈D とおく。

=φ(x) とおく。

k:D→ を k(x)=(φ(x)−p、n(p)) で定義する。

このような k を 『 高度関数 』 という。

H=(hij) を第2基本行列とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

k は、ベクトル φ(x)−p の法成分の大きさを意味する。

補足

(1)は 『φの第2基本行列 』 と 『 k のヘッセ行列 』 が一致することを意味する。

よって、例えば、U(x) が正定値ならば、x は k の極小点である。

(2)は、k を2次式で近似したとき、その係数がφの第2基本量になることを意味する。

(1)の証明

いま、∂k(x)=(∂φ(x)、n(p)) である。

また、∂k(x)=(∂φ(x)、n(p)) である。

よって、∂k(x)=hij(x) である。(※定義:第2基本量)

(2)の証明

k を x まわりでテイラー展開すればよい。