電磁波の発生(物理ver)、インピーダンス

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参考 ( 概要 )

光(電磁波)の発生はマクスウェル方程式から導かれる。

光の速さが c であることも、この議論によって分かる。

導出法としては次の2通りがある。

(1) 数学的考察(波動方程式を解く)

(2) 物理的考察(電流から直接的に導く)

このページでは(2)の方法で議論する。

参考 ( マクスウェル方程式 )

マクスウェル方程式(積分形)は、

マクスウェル方程式(微分形)は、

復習 ( ポインティングベクトル )

をエネルギー流密度とする。

u をエネルギー密度とする。

このとき、

よく知られているように、cεμ=1 であることに注意。

P* ( 電磁波の発生 )

時刻 t<0 において空間には何もないとする。

時刻 t=0 に yz 平面上に一様な面電流が現れ、+z方向に流れるとする。

( つまり、無限に広い面電流が突然に現れ、+z方向に流れる )

面電流 ( y 方向の単位幅あたりの電流 ) は J であるとする。

電荷密度ρは 0 であるとする。

明らかに、磁場は波面として発生する。

その波面の速さを v と表す。

このとき、



ただし、(4)において u は電磁気的エネルギー密度を意味する。

補足

面電流が時間変化する場合、位置 x、時刻 t での磁場と電場は、時刻 t−x/c の面電流による。

つまり、

(1)の証明

面電流が現れると磁場が生じる。

ただし、磁場が t=0 の時点で全空間に生じるということではない。

そこで、まずは面電流の近傍に生じる磁場を求める。

まず、面電流を横切る長方形閉経路 C を考える。



C は x 方向に微小な長さをもち、y 方向に長さ a をもつとする。

いま、c・dr=c|B|・2a である。

また、(1/ε)∫・ndS=Ja/ε である。

また、E は面電流の近傍で時間変化しない。(詳しくは(2)と(3)の証明で議論する)

以上により、c|B|・2a=Ja/ε+0 である。(※マクスウェル方程式)

また、B>0 (x>0) であり、B<0 (x<0) である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

同様の閉経路を xz 平面上で考える。

すると、(1/ε)∫・ndS=0 である。

よって、B=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、∇・B=0 である。(※マクスウェル方程式)

よって、上の結果より、B=0 である。(※対称性)

(2)と(3)の証明

既に確認したように、時刻 t=0 に全空間において(1)の磁場が発生するということはない。

実際には、+x方向と−x方向に広がっていくと考えられる。

そこで、その速さを v とする。

つまり、(1)は領域 −vt<x<vt における議論である。

つまり、領域の外(x<−vt、x>vt)では B=0 である。

ここで、波面(x=vt)を横切る長方形閉経路 C を考える。( 前述の C とは区別する )

C の x 方向の長さは微小であるとし、z方向の長さは a であるとする。



いま、−(d/dt)∫dS=−Bav である。(★1)

また、∫dr=E・a+0・a=Ea である。(★2)

上の計算において閉経路の x 方向の長さは微小なので、その部分の線積分は 0 とした。

また、領域の外では E=0 であるから領域外の線積分も 0 とした。

(★1)と(★2)より、Ea=−Bav である。

よって、E=−vB である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

波面 x=vt を横切る長方形閉経路 C を考える。( 前述の C とは区別する )

C は x 方向に微小な長さをもち、y方向に長さ a をもつとする。



いま、c・dr=ca である。

また、(d/dt)∫・ndS=va(−E) である。( z 方向の向きなどに注意)

よって、ca=va(−E) である。(※マクスウェル方程式)

つまり、E=−(c/v)B である。(★4)

(★3)と(★4)より、v=c である。

つまり、E=−cB である。

むろん、(1)の結果より、E=−J/(2εc) である。

(4)の証明

(1)〜(3)より明らかである。

(5)の証明

(1)〜(3)より、uc[(ε/2)E+(ε/2)B]・c=J/(4εc) である。

一方、(1)と(2)より、|S|(=S)=|ε×B|=J/(4εc) である。

参考 ( インピーダンス )

幅 a、長さ b の面電流に伴う仕事率は P=IV=Ja・|E|b=Jab/(2εc)である。

よって、単位面積あたりの仕事率は、p=J/(2εc)=2S である。(★1)

つまり、これは+x方向と−x方向のエネルギー流の和に等しい。

つまり、面電流が流れることで成される仕事が電磁波として放出されている。

この仕事は面電流を流す導体が完全導体であっても必要であることに注意。

つまり、電流方向に電圧をかけておく必要がある。

逆に言えば、電磁波として放出されてしまう分の仕事を必要とするということである。

そこで、この仕事に対して仮想的に抵抗率を考えることができる。

この抵抗率を 『 インピーダンス 』 という。

ここで、インピーダンスを Z と表す。

よく知られているように、抵抗 R に電流 I を流すための仕事は RI で表される。

つまり、仕事率は ZJ である。(★2)

面電流の場合、(★1)=(★2)より、Z=1/(2εc)である。