ストークスの定理[微分形式ver]

サイトのTOP→理系インデックス





参考

このページでは微分形式を形式的に説明する。

形式的な説明から入るので、序盤は意味不明であるかもしれない。

しかし、読み進めていくうちに。これらの取り決めが有用であることが分かるであろう。

定義 ( 0次微分形式 )

次式を 『 0次微分形式(0-形式)』 という。

1変数 : f(x)

2変数 : f(x、y)

3変数 : f(x、y、z)

つまり、0-形式とは、通常の関数ことである。

定義 ( 1次微分形式 )

次式を 『 1次微分形式(1-形式)』 という。

1変数 : f(x)dx

2変数 : f(x、y)dx+g(x、y)dy

3変数 : f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz

ここで、dx や dy は単なる記号と思ってよい。

注意

1-形式には通常の加法・減法を定義する。

つまり、同じ変数 ( dx や dy のこと ) の係数同士でのみ加法・減法を定義する。

定義 ( 2次微分形式 )

次式を 『 2次微分形式(2-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : f(x、y)dx∧dy

3変数 : f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy

記号 ∧ を 『 外積 』 または 『 ウェッジ積 』 という。

これは単なる記号と考えてよい。

ただし、次のようなルールを付ける。

注意

2-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*1) dx∧dx=−dx∧dx

(*2) adx∧(bdx+bdx+・・・)=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*3) (adx+adx+・・・)∧bdx=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*1)を 『 交代性 』 または 『 反対称性 』 という。

(*2)と(*3)を 『 分配則 』 という。

Z1

次が成り立つ。

(1)の証明

いま、dx∧dx=−dx∧dx である。(※交代性)

よって、dx∧dx=0 である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

定義 ( 3次微分形式 )

次式を 『 3次微分形式(3-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : 0 のみ

3変数 : f(x、y、z)dx∧dy∧dz

4変数 : fdx∧dy∧dz+fdt∧dx∧dy+fdt∧dx∧dz+fdt∧dy∧dz

ただし、4変数では変数を(t、x、y、z)としている。

注意

3-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*) dx∧(dy∧dz)=(dx∧dy)∧dz=dx∧dy∧dz

これを 『 結合則 』 という。

Z2

ω=a11dx+a12dx+a13dx とおく。

ω=a21dx+a22dx+a23dx とおく。

ω=a31dx+a32dx+a33dx とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

定義 ( 全微分 )

次式を 『 f の全微分 』 という。

1変数 : df=(df/dx)dx

2変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

3変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz

つまり、f の微分は1-形式である。

定義 ( 外微分 )

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik を n 変数 k 次微分形式とする。

次のように定義する。



つまり、



このとき、dωを 『 ωの外微分 』 という。

つまり、外微分は(k+1)-形式である。

Z3 ( 微分形式と grad、rot、div )

次が成り立つ。

補足

(1)の係数は、gradf になっている。

(2)の係数は、グリーンの公式でよく知られている。

(3)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、rotF である。

(4)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、divF である。

(1)の証明

定義そのままである。

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

計算すると、

Z4

ωを微分形式とする。

このとき、d(dω)=0 である。

補足

つまり、どんな微分形式も、外微分を2回すると 0 になる。

証明

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik とおく。

( つまり、ωは n 変数 k 次微分形式である )

計算すると、次が成り立つ。(※交代性に注意)



ただし、上の計算では、frs=fsr を用いた。

Z5

次が成り立つ。

(1) rot(gradf)=0

(2) div(rotF)=0

証明

明らかである。(※Z4、Z3)

参考

初等的なベクトル解析の書物では、Z5の(1)と(2)は個別に示される。

つまり、定義から直接的に計算して示される。

一方、微分形式では統一的に d(dω)=0 と表せる。

参考

既に示したように、ω=dμならば dω=0 である。(※Z4)

では、この逆は成り立つだろうか?

つまり、

(*) dω=0 ならば、ある微分形式μが存在して、ω=dμと表せるだろうか?

この問題は重要である。

例えば、F をベクトル値関数として特別な場合に言い換えると、

(*) rotF=0 ならば、ある関数 f(x、y、z) が存在して、F=gradf となるだろうか?

・・・ということである。

残念ながら、これがつねに成り立つわけではない。

しかし、ωやμの定義域に注意すれば成り立つ。

とくに、定義域が 全体ならば成り立つ。

しかし、 から原点を取り除くと、成り立たない場合が出てくる。

そこで、どのような条件であれば成り立つのか気になるところである。

その1つの答えは 『 ポアンカレの補題 』 である。

ポアンカレの補題を紹介する前に、まずは星型領域を定義しておこう。

定義 ( 星型領域 )

D を の領域とする。

ある点 p∈D が存在して、次が成り立つとする。

(*) 任意の点 x∈D に対し、p と x を結ぶ線分は D に含まれる。

このとき、D を 『 星型領域 』 という。

つまり、星型領域は穴が空いていない領域である。

参考 ( ポアンカレの補題 )

ωを微分形式とする。

ωの定義域は星型領域であるとする。

このとき、ある微分形式μが存在して、ω=dμとなる。

証明

省略する。

この辺りはポテンシャル論への入口である。

しかし、これは今回の目的とは異なるので扱わない。

定義 ( ヤコビ行列式 )

次のように定義する。



これを 『 ヤコビ行列式 』 という。

ここでは3次元の場合について書いたが、2次元の場合も同様である。

Z6 ( 微分形式の変数変換 )

次のような変換を考える。



いま、



これらを微分形式に代入したものを 『 微分形式の変数変換 』 という。

つまり、

補足

(*1)は、1変数 x から1変数 u への変数変換である。

(*2)は、2変数(u、v)から2変数(x、y)への変数変換である。

(*3)は、3変数(u、v、w)から2変数(x、y、z)への変数変換である。

(*4)は、 内の曲線の、t によるパラメータ表示である。

(*5)は、 内の曲面の(u、v)によるパラメータ表示である。

つまり、微分形式は、変数変換・曲線・曲面を統一的な立場から記述している。

証明

明らかである。

参考

通常の積分、線積分、面積分、微分形式を関連付けることができる。

このページでは、これについて説明しよう。

定義 ( 1変数1-形式の積分 )

ω=f(x)dx を1-形式とする。

ただし、f の定義域は I=[a、b] であるとする。

次のように定義する。

定義 ( 2変数1-形式の積分 )

ω=f(x、y)dx+g(x、y)dy を1-形式とする。

Γ(t)=(x(t)、y(t))を曲線とする。

Γの定義域を [a、b] とする。

次のように定義する。



むろん、上式右辺の被積分はωの t への変数変換である。(※Z6)

つまり、



一方、接線線積分∫ΓF は、



よって、∫Γω=∫ΓF である。

むろん、(*2)の左辺を次のように表すことは自然であろう。



これは(*1)の左辺と同じである。

つまり、記号としても、微分形式と線積分は整合している。

上の定義はパラメータの表示に依存しない。

これを確認してみよう。

Γ=(x(t)、y(t))=(x’(t’)、y’(t’))を曲線とする。

置換積分の公式、合成関数の微分法より、



最後の式変形を難しく感じる人がいるかもしれない。

これは x’(t’)=x(t(t’)) と y’(t’)=y(t(t’))に合成関数の微分法を用いたものである。

定義 ( 2変数2-形式の積分 )

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

D を の領域とする。

次のように定義する。

ただし、次のように計算するとおかしなことになる。

(*) ∫fdx∧dy=∫(−f)dy∧dx=−∫fdy∧dx

なので、このような計算は行わないことにする。

定義 ( 領域の裏返し )

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

次のように定義する。

これは、次と同様である。

Z7

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

ωの変数を(u、v)に変換したものをω’と表す。

D に対応する(u、v)座標上の領域を D’とする。

このとき、

証明

明らかである。(※Z6、定義:2変数2-形式の積分)

Z8

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

ωの変数を(u、v)に変換したものをω’と表す。

D に対応する(u、v)座標上の領域を D’ とする。

このとき、

(1) ∂(x、y)/∂(u、v)>0 ⇒ ∫ω=∫D’ω’

(2) ∂(x、y)/∂(u、v)<0 ⇒ ∫ω=∫−D’ω’

証明

微分積分学でよく知られているように次が成り立つ。(※変数変換公式)



( ヤコビ行列式に絶対値が付いていることに注意 )

よって、明らかである。

定義 ( 3変数2-形式の積分 )

ω=f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy を3変数2-形式とする。

Γ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))を曲線とする。

次のように定義する。



むろん、上式右辺の被積分はωの(u、v)への変数変換である。(※Z6)

上の定義はパラメータに依存しない。

つまり、Γ=(x(t)、y(t)、z(t))=(x’(t’)、y’(t’)、z’(t’))とすると、



このことは、定義(2変数1-形式の積分)の2番目の補足と同様に示される。

Z9

v=(v、v、v)とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、ndS=(dy∧dz、dz∧dx、dx∧dy)と見なせる。

証明

曲面 S を r(u、v) でパラメータ表示する。

曲面 S を細かい網目に分割する。

網目を十分小さくとれば、これは次の2つのベクトルを辺にもつ平行四辺形で近似できる。



図示すると、



さらに、ベクトル(*1)は、次のように表せる。



同様に、



上式において、o(Δu) は誤差項であり、o(Δu)/Δu→0 ( Δu→0 ) となる。

これは微分積分学でよく知られている。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、曲面 S には単位法ベクトル場がある。

よって、向きを選べば、(∂r/∂u)Δu×(∂r/∂v)Δv=nΔS である。



一般に、ベクトル a=(a、a、a)、b=(b、b、b)に対し、次が成り立つ。

(*) a×b=(a−a、a−a、a−a)である。

よって、nΔS=(∂(y、z)/∂(u、v)、∂(z、x)/∂(u、v)、∂(x、y)/∂(u、v))ΔuΔv である。

よって、定義(3変数2-形式の積分)、Z6 より、

定義 ( 境界 )

例えば、3次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界 ∂D は、領域 D の表面を意味する。

つまり、∂D は閉曲面である。

例えば、球体の境界は球である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、2次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界∂D は D の周囲の曲線を意味する。

つまり、∂D は閉曲線である。

例えば、2次元の円板の境界は円である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、1次元の領域 I を考える。( つまり数直線の区間である )

この場合、I の境界 ∂I は、区間の両端を意味する。

つまり、∂I は2つの点である。

例えば、1次元の区間 (a、b) の境界は点 a と点 b である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S を考える。

この場合、S の境界 ∂S は、閉曲線を意味する。

例えば、茶碗型の曲面の境界は、円である。( つまり、茶碗の縁に相当する )

境界の厳密な定義は、距離空間論や位相空間論などで与えられる。

ただし、以下の議論では上に書いた内容だけで十分である。

Z10 ( 一般化されたストークスの定理 )

ωを滑らかな n 変数(k−1)形式とする。

C を 内の k 次元図形とする。

∂C を C の境界とする。

このとき、∫dω=∫∂Cωである。

補足

ただし、dωはωの外微分である。

証明

これの証明には割と多くの準備が必要なので省略する。

このページでは、この定理がいかに強力であるかを説明することに重点を置こう。

Z11 ( ガウスの発散定理 )

D を の領域とする。

∂D を D の境界とする。( つまり S は曲面である )

∂D は区分的に滑らかであるとする。

n を S の法ベクトル場とする。

F:D を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

証明

証明は省略する。

Z12 ( ストークスの定理 )

S を 内の曲面とする。

∂S を S の境界とする。

∂S は区分的に滑らかであるとする。

F:D→ を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は S を含む領域である。

n を S の法ベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

むろん、上式の右辺は 『 接線線積分 』 である。

補足

ただし、∂S と n の向きは下図のようであるとする。

証明

省略する。

Z13 ( グリーンの定理 )

φ、ψ:I→ を滑らかな関数とする。

つねに、ψ(x)>φ(x)であるとする。

D={(x、y)|φ(x)≦y≦ψ(x)}とおく。

∂D を D の境界とする。

f、g:D を滑らかな関数とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)は 『 微分積分学の基本定理 』 の2次元への拡張である。

(2)は 『 グリーンの公式 』 と呼ばれる。

証明

証明は省略する。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その1 )

一般化されたストークスの定理は微分積分学の基本定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=1、k=1 の場合を考える。

つまり、ωは 0-形式であって、関数である。

そこで、ω を f(x) と表す。

その外微分は (df/dx)dx である。

また、C は区間 [a、b] を意味する。

また、∂C は a と b である。

以上により、∫[a、b](df/dx)dx=f(b)−f(a)である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その2 )

C を平面上の曲線とする。

Γの始点を P とし、終点を Q とする。

f(x、y)を2変数関数とする。

このとき、∫df=f(Q)−f(P)である。

証明

Z10 において k=1、n=2 とする。

いま、ωは2変数関数である。

そこで、ω を f(x、y) と表す。

その外微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy である。

また、C は1次元曲線である。

また、∂C は P と Q である。

以上により、∫df=f(Q)−f(P)である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その3 )

一般化されたストークスの定理は、グリーンの公式を含んでいる。

証明

Z10 において n=2、k=2 とする。

いま、ω=f(x、y)dx+g(x、y)dy と表せる。

その外微分は、(−∂f/∂y+∂g/∂x)dx∧dy である。

以上により、∫(−∂f/dy+∂g/∂x)dx∧dy=∫∂C fdx+gdy である。

いま、C は平面上の領域である。

そこで、上式の左辺は2乗積分の形で表せる。

すると、∬(−∂f/∂y+∂g/∂x)dxdy=∫∂C fdx+gdy である。

これはグリーンの公式である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その4 )

一般化されたストークスの定理は、元のストークスの定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=3、k=2 とする。

いま、ω=f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz と表せる。

また、dω=(∂h/∂y−∂g/∂z)dy∧dz+(∂f/∂z−∂h/∂x)dz∧dx+(∂g/∂x−∂f/∂y)dx∧dy である。

F=(f、g、h)とおく。

すると、∫rotF・ndS=∫∂CF・dr である。(※Z9、定義:2変数1-形式の積分)

これは Z12 である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その5 )

一般化されたストークスの定理は、ガウスの発散定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=3、k=3 とする。

いま、ω=f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy と表せる。

その外微分は dω=(∂f/∂x+∂g/∂y+∂h/∂z)dx∧dy∧dz である。

F=(f、g、h)とおく。

いま、上式の右辺は divF と表せる。

よって、∫divFdxdydz=∫∂CF・ndS である。(※Z9)