電磁場の応力テンソル

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参考 ( 応力 )

dS=ndS を面積要素とする。

つまり、nは面 dS の法線ベクトルである。

面 dS に働く力を df とする。

dS に df を対応させる写像を 『 応力 』 という。

つまり、応力をσとすると、df=σ(dS)である。

いま、df=σ(dS)=σ(ndS)=dSσ(n)である。

よって、単位面積あたりに働く力は τ=df/dS=σ(n)である。

つまり、応力は 「(単位面積の意味を含めた)単位ベクトル n 」 を τ に変換する。

応力テンソルσは次のように表せる。

応力テンソルは 『 連続体力学 』 の基礎である。

定義 ( 静電場の応力テンソル )

=(E、E、E)を静電場とする。

次のように定義する。



ただし、E=|E|である。

このとき、



この T(e) を 『 電場の応力テンソル 』 という。

補足

(*)の右辺は領域 V が電場から受ける力を意味する。

つまり、T(e) は S 上の各点にある微小面に働く応力を意味する。

(*)の証明

静電場 E は静電ポテンシャルφによって E=−gradφと表される。

つまり、(E、E、E)=(−∂φ/∂x、−∂φ/∂y、−∂φ/∂z)である。

よって、∂E/∂y=∂E/∂x などが成り立つ。

よって、







よって、次のように計算できる。(※ガウスの法則〜微分形)



よって、次のように計算できる。(※ガウスの発散定理)



定義 ( 静磁場の応力テンソル )

=(B、B、B)を静電場とする。

次のように定義する。



ただし、B=|B|である。

このとき、



この T(m) を 『 磁場の応力テンソル 』 という。

補足

(*)の右辺は領域 V が磁場から受ける力を意味する。

つまり、T(m) は S 上の各点にある微小面に働く応力を意味する。

(*)の証明

いま、







よって、次のように計算できる。(※divB=0)



上式右辺は(1/μ)rotB×B の x 成分である。

一方、(1/μ)rotB=i である。(※アンペールの法則)

つまり、上式右辺は i×B の x 成分に等しい。

よって、