デルタ関数の公式

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参考 ( 概要 )

このページでは次の式を示す。

この公式は物理学の世界で登場する。

P1 ( 基本計算 )

を定ベクトルとする。

次のようにおく。



このとき、

補足

は 『 ラプラス演算子 』 と呼ばれる。

これは ∇ の形式的な内積である。

つまり、



次のように表すこともできる。

(1)の証明

=(x、y、z)、a=(a、b、c) とおく。

=(A、A、A)とおく。

いま、



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。



よって、



よって、

(3)の証明

いま、



よって、

(4)の証明

(3)と(1)より、

定義 ( ディラックのデルタ関数 )

次のように定義する。



ただし、次のように規格化されているとする。



このとき、δを 『(ディラックの)デルタ関数 』 という。

むろん、δは通常の関数とは異なる。

詳しくは超関数論によって議論される。

つまり、ここに書かれている定義は天下り的である。

次が成り立つとしてよい。



3次元の場合、



ただし、δ(3)(x)はδ(x)δ(y)δ(z)を意味する。

P2 ( デルタ関数の公式 )

次が成り立つ。

証明

=∇(1/|x|)=−x/|x| とおく。(※P1)

f(x)を滑らかな関数とする。

B(0、ε)を原点を中心とするε閉近傍とする。

εが十分小ならば、f は B(0、ε)において近似的に一定値 f(0) をとるとしてよい。(※ f は滑らか)

また、∇・A=∇(1/|x|)は|x|=0 以外では 0 である。(※P1)

よって、任意の領域 V に対し、次のように計算できる。(※ガウスの発散定理)



ただし、n は単位ベクトルである。



つまり、



つまり、