デルタ関数の公式(ガウス発散定理による証明)

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参考 ( 概要 )

このページでは次の式を示す。

この公式はポアソン方程式に関連して有用である。

とくに、このページではこれをガウスの発散定理によって示す。

ちなみに、これをフーリエ変換によって示すこともできる。

それについてはグリーン関数のページで議論する。

P1 ( 基本計算 )

を定ベクトルとする。

次のようにおく。



このとき、x≠a に対して次が成り立つ。

補足

は 『 ラプラス演算子 』 と呼ばれる。

これは ∇ の形式的な内積である。

つまり、



次のように表すこともできる。

(1)の証明

=(x、y、z)、a=(a、b、c) とおく。

=(A、A、A)とおく。

いま、



よって、

(2)の証明

次のように計算できる。



よって、



よって、

(3)の証明

いま、



よって、

(4)の証明

(3)と(1)より、

定義 ( デルタ関数 )

関数δ(t)次のように定義する。





このとき、δを 『 デルタ関数 』 という。

直観的に、δは次のような関数であるとしてよい。



このようなδを 『 単位インパルス 』 という。

式(*2)のδ(t−τ)をδ(τ−t)と書いてもよい。

このことはδが単位インパルスであることから明らかであろう。

ただし、式(*2)は合成積を意識した形で書かれている。

3次元の場合、



むろん、a=0 とすると、



ここで、δ(x)はδ(x)δ(y)δ(z)を意味する。

P2 ( デルタ関数の公式 )

次が成り立つ。

証明

=∇(1/|x|)=−x/|x| とおく。(※P1)

f(x)を滑らかな関数とする。

B(0、ε)を、原点を中心とするε閉近傍とする。

εが十分小ならば、f は B(0、ε)において近似的に一定値 f(0) をとるとしてよい。(※ f は滑らか)

また、∇・A=∇(1/|x|)は|x|=0 以外では 0 である。(※P1)

よって、任意の領域 V に対し、次のように計算できる。(※ガウスの発散定理)



ただし、n は単位ベクトルである。



つまり、



つまり、