デルタ関数

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参考 ( デルタ関数は x=0 で有限な大きさとなることもある )

デルタ関数は超関数として基本的である。

ただし、その定義にはいくつか種類がある。

最も有名な定義では、デルタ関数は、x=0 で無限大 ∞ をとる関数として定義される。

しかし、実際には、x=0 で有限な値をとる関数もデルタ関数と見なせる場合がある。

定義 ( デルタ関数〜その1 )

まず、次のように定義する。



いま、



この値は n を変化させても変化しない。

また、n を大きくすると、[−1/n、1/n] は狭まっていく。



よって、連続関数 f に対し、



そこで、仮想的に δ(x)=limn→∞δ(x) とおく。

いま、次のように表せる。



この δ(x) を 『 デルタ関数 』 という。

デルタ関数 δ(x) は 『 超関数 』 と呼ばれるものの1つである。

超関数は通常の関数ではない。

デルタ関数を図示すると、



むろん、これは 「 原点に広義実数 ∞ を対応させた関数 」 ではない。

実際、これでは 「 積分値が1である 」 という情報が消えてしまう。

定義 ( デルタ関数〜その2 )

まず、次のように定義する。



よく知られているのように、これの積分は 1 である。

また、t→0 とすると、原点近似以外では 0 に収束する。



ちなみに、t は統計学で 『 分散 』 と呼ばれる。

分散が小さくなることで値が一点に集中することは道理である。

よって、



そこで、仮想的に limt→0(x)=δ(x) とおく。

いま、次のように表せる。



この δ(x) を 『 デルタ関数 』 という。

定義 ( デルタ関数〜その3 )

まず、次のように定義する。



この積分は 1 となる。(★1)

また、m→∞ とすると、原点付近以外では 0 に収束する。(★2)



後は定義(〜その1)や定義(〜その2)と同様である。

(★1)の証明

次のようにおく。



いま、



また、



また、I=0、I=I−1=2π である。

よって、J=0、J=4π ( k≧1 ) である。

以上により、I=2mπ である。

つまり、∫r(x)dx=1 である。

(★2)の証明

δ>0 とすると、