電気双極子モーメント→(鏡像法)→「静電場中の導体球+中性な電荷分布」

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復習 ( E=−∇φ )

電場は E(r)=−∇φ(r) と表される。

とくに、電場の向きは等ポテンシャル面に垂直である。

参考 ( 導体内部でE=0、導体表面でφ=一定、導体外部でE⊥S )

静電場に導体を置く。

このとき、次が成り立つ。

(1) 導体内部の電場は 0 である。

(2) 導体内部(と表面)でポテンシャルは一定である。

(3) 導体外部の電場は(導体の)面に垂直である。

(1)の証明

導体内に電場があると仮定する。

すると、その電場の向きに正電荷が移動する。

この移動によって生じる電場はもとの電場を打ち消す。

よって、最初から導体内に電場はないとしてよい。

(2)の証明

よく知られているように、E=−∇φである。

よって、(1)より、φは一定である。

(3)の証明

(2)より、導体表面は等ポテンシャル面である。

よって、導体外部の電場は表面に垂直である。(※参考:E=−∇φ)

参考 ( E=σ/ε

導体表面の電荷密度をσとする。

(r)を導体表面の単位法ベクトルとする。

このとき、電場 E(r) は、

証明

導体表面の一部に注目する。

その面積 ΔS が十分小ならば、これを平面と見なせる。

この領域を含むように柱状の閉曲面を考える。

ただし、底面は平面に平行であり、側面は平面に垂直であるとする。



を閉曲面の法ベクトルとする。( 導体表面の法ベクトル n と混同しないように注意 )

いま、閉曲面の側面で E・N=0 である。

また、上底面では E・N=E である。

また、下底面では E・N=0・N=0 である。

よって、∫・NdS=EΔS である。

また、(1/ε)∫ρ(r)dV=(1/ε)σΔS である。

一方、∫・NdS=(1/ε)∫ρ(r)dV である。(※ガウスの法則)

よって、EΔS=(1/ε)σΔS である。

よって、E=σ/ε である。

つまり、E(r)=(1/ε)σ(r)n(r)である。

ただし、n は導体表面の法ベクトルである。

定義 ( 電気双極子モーメント )

位置 r に電荷 −q が置かれているとする。

位置 r に電荷 +q が置かれているとする。

=r−r とおく。

このとき、p=qd を 『 電気双極子モーメント 』 という。

P1 ( 電気双極子モーメントによって生じるポテンシャル )

座標(0、0、a/2)に点電荷 q を置く。

座標(0、0、−a/2)に点電荷 −q を置く。

点電荷からの距離が a に比べて十分大きい位置 r における電場は次のように表される。



一般に、電気双極子モーメント p (|p|=qa ) から成るポテンシャルは、

(2)の解答〜その2

点 P(x、y、z) におけるポテンシャルは、



a が十分小であるとすると、



よって、

(2)の証明

証明は省略する。

ただし、p が z 方向を向いている場合、この結果が(1)に一致することは簡単に分かる。

実際、p・r=pz である。

参考 ( 鏡像法の応用 )

平らな導体表面から距離 a に位置する点電荷 q を考える。

このとき、導体表面に生じる電場は、



また、導体表面に誘起される電荷は、

補足

導体表面に関して対称的に仮想的な電荷を配置することで問題を解くことができる。

このような方法を 『 鏡像法 』 という。(詳しくは以下の証明を参照)

(1)の証明

導体がないものとして導体表面に関して対称な位置に逆符号の点電荷を置く。



いま、導体表面上のポテンシャルは 0 である。

つまり、この電場は導体表面でポテンシャルが一定となる条件を満たしている。

つまり、この電場は境界条件を満たしている。(※参考:導体表面でφ=一定)

つまり、導体外部の環境は仮想的な電荷を考える前後で同じである。

P1より、



よって、



よって、

(2)の証明

参考(E=σ/ε)より、

P2

一様な静電場 E に帯電していない導体球(半径R)を置く。

その後、電場は変化して、ポテンシャルは次のように表される。

証明

一様な静電場 E に伴うポテンシャルは φ(r)=−E・r である。

実際、E=−∇φ である。

いま、静電場中に導体球を置く。

すると、導体球に電荷分布の偏りが誘起される。

この電荷分布から成るポテンシャルを φ’(r) と表す。

いま、導体表面|r|=R でφ(r)=φ(r)+φ’(r)は一定である。

ここで、導体がないものとして境界条件を満たすように仮想的な電荷分布を置く。

( つまり、考え方は鏡像法と同様である )

そのためには、電気双極子モーメントを置けばよい。

実際、電気双極子モーメントから成るポテンシャルは|r|=R の球面上で φ(r)と同じ向きをもつ。

むろん、p=qa の向きは E に対して平行である。

詳しく計算すると、次のようになる。(※P1)



これが球面上で 0 となるためには p=4πε である。

よって、

P3 ( 中性な電荷分布によって生じるポテンシャル )

(i=1、・・・、n) を n 個の点電荷とする。

1≦i≦n=0 であるとする。

点電荷 q の位置ベクトルを r とする。

これら点電荷によって生じる静電ポテンシャルは十分遠くで次のように表せる。

補足

これは P1(電気双極子によって生じるポテンシャル)で示した式と同じ形をしている。

これは当然である。

実際、点電荷の中心を +Q とし、負電荷の中心を −Q とすると、p=Qd と表せる。

証明

i 番目の点電荷 q と位置 r の距離を r’=|r|とする。

=r/r とおく。

いま、r は r に比べて十分小である。

よって、



また、



よって、