電磁波の発生(数学ver)

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参考 ( 概要 )

光(電磁波)の発生はマクスウェル方程式から導かれる。

光の速さが c であることも、この議論によって分かる。

導出法としては次の2通りがある。

(1) 数学的考察(波動方程式を解く)

(2) 物理的考察(電流から直接的に導く)

このページでは(1)の方法で議論する。

復習 ( 公式 )

一般に、ベクトル場 v に対して次が成り立つ。

(*) ∇×(∇×v)=∇(∇・v)−∇

参考 ( マクスウェル方程式 )

マクスウェル方程式(積分形)は、

マクスウェル方程式(微分形)は、

復習 ( ポインティングベクトル )

をエネルギー流密度とする。

u をエネルギー密度とする。

このとき、

よく知られているように、cεμ=1 であることに注意。

参考 ( 波動方程式 )

ψ=(1/v)∂ψ/∂t を 『 波動方程式 』 という。(★)

ψ=ψ(x、t)の場合、∇=∂/∂x である。

この場合、(★)は 『 1次元波動方程式 』 である。

ψ=ψ(x、y、z、t)の場合、∇=∂/∂x+∂/∂y+∂/∂z である。

この場合、(★)は 『 3次元波動方程式 』 である。

参考 ( ダランベールの解 )

tt=cxx を1次元波動方程式とする。(★)

このとき、(★)の一般解は u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct) である。

補足

これを 『 ダランベールの解 』 という。

補足

つまり、(★)の解は次の2つの波の重ね合わせとして表される。

(*1) φ(x+ct) : 負方向に速度 c で進む波

(*2) ψ(x−ct) : 正方向に速度 c で進む波

証明

ξ=x+ct、η=x−ct とおく。

u(x、t)をξとηの関数と見なして t で偏微分すると、



さらに、同じように偏微分すると、



ただし、上記の計算では次を用いた。



同様に、



これらを(★)に代入すると、uξη=0 である。

その一般解は、u=φ(ξ)+ψ(η)である。(※P1)

よって、u(x、t)=φ(x+ct)+ψ(x−ct)である。

P1 ( 平面波 )

ψ=(1/v)∂ψ/∂t を3次元波動方程式とする。(★0)

その解として φ=Aexp[i(k・r−ωt)] を採用できる。

ただし、|k|=ω/v である。

補足

・r−ωt を 『 位相 』 という。

むろん、1次元では kx−ωt となる。

cos(kx−ωt)の山が時間 Δt で Δx だけ移動するとする。

すると、kx−ωt の値は変化しないので、kΔx−ωΔt=0 である。

よって、波の速さは v=Δx/Δt=ω/k と表される。

むろん、3次元の場合は k・Δr−ωΔt=0 である。

むろん、波の速さは c=Δr/Δt=ω/k と表される。

補足

・r は波数ベクトル k に垂直な面上で同じ値をとる。

( 実際、内積 k・r の値は r を k に正射影することによって得られる )

ゆえに、解 φ=Aexp[i(k・r−ωt)] は 『 平面波 』 を意味する。

補足

むろん、解としては他にも考えられる。

例えば、球面波や円筒状がある。

ただし、様々な角振動数ωと波数ベクトル k を合わせることで任意の波動解をつくれる。

よって、実質的には平面波のみで電磁波の性質をよく理解できる。

証明

まず、1次元の場合について考える。

つまり、∂ψ/∂x=(1/v)∂ψ/∂t として考える。

その解として ψ=φ(x−vt)=Acos(kx−ωt) を採用できる。(※ダランベールの解)(★1)

ただし、k=2π/λ、ω=kv=2πv/λ である。

( この k を 『 波数 』 といい、ω を 『 角振動数 』 という )

さらに、実部だけが物理量に対応すると規約して、φ=Aexp[i(kx−ωt)] とおく。(★2)

よく知られているように、exp(ix)=cosx+isinx である。(※オイラーの公式)

つまり、(★1)と(★2)を同一視できる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

表示(★2)を3次元に拡張すると、φ=Aexp[i(k・r−ωt)] である。(★3)

ただし、k=(k、k、k)、r=(x、y、z) である。

(★3)を(★0)に代入してみよう。

いま、∂φ/∂x=ikφ、∂φ/∂x=−kφ である。

また、∂φ/∂t=−iωφ、∂φ/∂t=−ωφ である。

よって、(k+k+k)φ=(ω/c)φ である。

よって、|k=ω/c である。

よって、|k|=ω/c である。

P2 ( 直線偏光 )

電荷や電流が存在しない真空を考える。

このとき、マクスウェル方程式の解として次を採用できる。





ただし、|k|=ω/c である。

補足

さらに、一般に、解を次のように表示できる。



つまり、(1)や(2)は θ=θ=θ=0 の場合である。

とくに、θ、θ、θ が同一の値をとる場合を 『 直線偏光 』 という。

一方、θ、θ、θ が異なる値をとる場合を 『 楕円偏光 』 という。

この意味で、直線偏光は特殊である。

ただし、楕円偏光は様々な直線偏光の重ね合わせとして表せる。

よって、直線偏光のみで電磁波の性質を記述できる。

証明

電荷や電流が存在しない真空中のマクスウェル方程式は、

(M1) ∇・E=0

(M2) ∇×E=−∂B/∂t

(M3) ∇・B=0

(M4) c∇×B=∂E/∂t

上の(M2)の両辺について ∇× をとる。

すると、左辺は、(M1)より、∇×(∇×E)=∇(∇・E)−∇=−∇ である。(※復習:公式)

また、右辺は、(M4)より、−∂(∇×B)/∂t=−(1/c)∂/∂t である。

よって、∇=(1/c)∂/∂t である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(M4)の両辺について ∇× をとる。

(★1)と同様に、∇=(1/c)∂/∂t である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と(★2)は3次元波動方程式である。

よって、結論を得る。(※P1)

P3 ( 電磁波の発生 )

電荷や電流が存在しない真空を考える。

(r、t)、B(r、t)を直線偏光とする。

を電気的エネルギーとする。

を磁気的エネルギーとする。

u を電磁気的エネルギー密度とする。

をポインティングベクトルとする。

(1) k・E=0 である。( つまり E は波の進行方向 k に垂直である )

(2) k・B=0 である。( つまり B は波の進行方向 k に垂直である )

(3) B=(1/ω)k×E ( つまり、E、B、k はすべて互いに垂直である )

(4) E/B=c

(5) u=u

(6) |S|=cu

補足

既に確認したように、k は平面波の進行方向を意味する。

よって、(1)と(2)は E や B が横波であることを意味する。

補足

(6)は電磁気的エネルギー密度 u が光速 c で移動することを意味する。

(1)の証明

いま、∂E/∂x=ik、∂E/∂y=ik、∂E/∂z=ik である。(※P2)

よって、∇・E=ik・E である。

一方、∇・E=0 である。(※マクスウェル方程式)

よって、k・E=0 である。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

∇×E の x 成分は、∂E/∂y−∂E/∂z=ik−ik=i(k−k)である。

∇×E の y 成分は、∂E/∂z−∂E/∂x=ik−ik=i(k−k)である。

∇×E の z 成分は、∂E/∂x−∂E/∂y=ik−ik=i(k−k)である。

以上により、∇×E=ik×E である。(★1)

一方、−∂B/∂t=iωB、−∂B/∂t=iωB、−∂B/∂t=iωB である。

よって、−∂B/∂t=iωB である。(★2)

一方、∇×E=−∂B/∂t である。(※マクスウェル方程式)

よって、k×E=ωB である。

(4)の証明

既に確認したように、|k|/ω=1/c である。(※P2)

一方、(3)より、B=(1/ω)k×E である。

よって、E/B=c である。

(5)の証明

電気的エネルギー密度は u=(ε/2)E である。(※復習:ポインティングベクトル)

磁気的エネルギー密度は u=(ε/2)E である。(※復習:ポインティングベクトル)

よって、(4)より、u=u である。

(6)の証明

(3)より、|S|=|ε×B|=εEB である。(※復習:ポインティングベクトル)

また、(4)より、u=(ε/2)E+(ε/2)B=ε=εcEB である。

よって、|S|=cu である。