特殊相対論による電場と磁場の変換則

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参考 ( まえがき )

一定磁場 B において電荷 q が速度 v で移動するとする。

いま、電荷 q には力 F=v×B がはたらく。(※ローレンツ力)

また、速度 v で移動する座標系では v×B に比例する電場 E’ が生じる。(後述)

つまり、電場と磁場は座標系によって変換される。

このページを読むときに特殊相対性理論に関する知識は必要ない。

必要な知識はこのページで紹介する。

参考 ( 電場と磁場の変換則 )

S(x、y、z)系に電場 E と磁場 B が存在するとする。

S’(x’、y’、z’)系が S 系に対して相対速度 u で運動するとする。

このとき、S’系における電場と磁場は次のように表される。



これは特殊相対性理論による結論である。

このページではこの結果を認めてつかう。

に平行な成分を // で表し、垂直な成分を ⊥ で表している。

むろん、成分 // は1次元であり、成分 ⊥ は2次元である。

参考 ( 固有時間 )

S(x、y、z)系に電場 E と磁場 B が存在するとする。

S’(x’、y’、z’)系が S 系に対して相対速度 u で運動するとする。

S系において粒子(速度v)にはたらく力 F とする。

このとき、S’系において粒子(速度v’)にはたらく力 F’ は、

よく知られているように、慣性系に対して一定な相対速度で運動する座標系は慣性系である。

また、ニュートン力学では慣性系では物体は同じ運動法則に従う。

つまり、どの慣性系においても同じ運動方程式が成り立つ。

つまり、どの慣性系においても物体にはたらく力は同じである。

しかし、上に書いたように、特殊相対性理論では慣性系であっても力は異なる。

これは時間の進み方が慣性系によって異なることによる。

詳しく知りたい人は 『 固有時間 』 などの項目を調べるとよい。

P* ( ローレンツ力〜その1 )

=(0、0、B) を時間変化しない磁場とする。

xy 面上に閉回路を置く。

閉回路の一部を可動式の導体棒 ( 長さ a ) に置き換える。

導体棒の向きは y 方向であるとする。

導体棒は x 方向に速さ v で移動するとする。

このとき、導体棒中の電荷 q にはたらく力は F=(0、−qvB、0) である。

補足

よく知られているように、上記の力 F は 『 ローレンツ力 』 である。(※電磁気学)

ただし、ここでは導体棒に伴う座標系でローレンツ力を考えて F を求める。

証明

S’(x’、y’、z’)を導体棒に伴う座標系とする。

を S’系の相対速度とする。

いま、S系における電荷 q の速度は v=u=(v、0、0) である。

また、S’系における電荷 q の速度は v’=(0、0、0)である。

S系において電荷 q にはたらく力を F とすると、F・v=F//v である。

よって、次のように計算できる。(※参考:電場と磁場の変換則)











P* ( ローレンツ力〜その2 )

を一定な磁場とする。

において閉経路が速度 v(r) で変形(または並進運動)するとする。

このとき、閉経路上の各点における電荷 q にはたらく力は F=qv×B である。

補足

よく知られているように、上記の力 F は 『 ローレンツ力 』 である。(※電磁気学)

ただし、ここでは閉経路の変形に伴う座標系でローレンツ力を考えて F を求める。

証明

閉経路 C を微小区間に分割する。

各微小区間の始点と終点をつなぐ変位を Δr と表す。

また、その位置における磁場を B と表す。



i 番目の微小区間に伴う座標系を S’系とする。

いま、S’系において電荷 q は静止している。

よって、S’系において F’=q(E’+v’×B’)=qE’である。(※ローレンツ力)(★)

いま、S系において E=0 であり、v×Bi⊥=v×B である。

よって、次が成り立つ。(※電場と磁場の変換則)



ただし、v に平行な成分を // で表し、v に垂直な成分を ⊥ で表している。

ここで、v の向きに x 軸を選ぶ。

いま、v=u=(v、0、0)、v=(0、0、0)である。

また、F×v=Fi// である。

よって、次が成り立つ。(※参考:固有時間)





(*1)、(*2)より、Fi//=Fi//’=0 である。

よって、F=Fi⊥ であり、F=Fi⊥ である。

よって、(*3)より、



一方、(★)、(*1)より、



よって、