真空中のマクスウェル方程式の解+光のドップラー効果+ド・ブロイ関係式の4元化

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) マクスウェル方程式の解として 「 電磁波の式 」 を採用できる。

(2) 光のドップラー効果

(3) ド・ブロイ関係式の四元化

復習 ( ダランベルの解 )

次のような波動関数を考える。



その一般解は次のように表される。



これを 『 ダランベルの解 』 という。

つまり、波動方程式に書かれている v は波の伝搬速度を意味している。

復習 ( ベクトル解析の公式 )

(x)をベクトル場とする。

一般に、次が成り立つ。

ちなみに、電磁気学では ∇・E=0 や ∇・B=0 である。

よって、∇×(∇×E)=−∇ や ∇×(∇×B)=−∇ が成り立つ。

P1 ( 真空中のマクスウェル方程式の解 )

真空中のマクスウェル方程式の解として次を採用できる。





ただし、k=|k|である。

を 『 波数ベクトル 』 という。

補足

と B は k 方向に伝播する波を意味する。

の振動方向 e は伝播方向 kに直交している。(※k・e=0)

また、B の振動方向 k×e も伝播方向 k に直交している。

つまり、電磁波は横波である。

証明

マクスウェル方程式は、



真空(ρ=0、j=0)の場合は、



(*2)の両辺を t で微分する。

すると、(*4)と(*2)より、次が成り立つ。(※復習:ベクトル解析の公式)



つまり、



同様に、



(*5)の解として次を採用できる。



実際、





ここで、定数θは本質的ではない。

そこで、以下の議論ではθを省略する。

むろん、上記の E は(*2)を満たす。

さらに、E は(*1)と(*4)を満たさなければならない。

いま、





第1式より、k・e=0 である。

第2式より、

参考 ( 電磁波の発生には踏み込んでいない )

もしかしたら、

「 真空中には電流や電荷が存在しないのに、なぜ真空のマクスウェル方程式から電磁波が出るのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、電流や電荷がなければ電磁波は発生しない。

しかし、そもそも、ここでは 「 電磁波の発生 」 を議論していない。

「 過去に発生した電磁波が真空中でどのように振る舞うか 」 を議論したのである。

ちなみに、電磁波の発生については別ページで議論する。

参考 ( 分散関係 )

次のような波動方程式を考える。



その解として次を採用できる。

角振動数ωと波数|k|の関係を 『 分散関係 』 という。

とくに、ωと|k|が比例する場合は 「 分散がない 」 という。

証明

(*2)を(*1)に代入すれば分かる。

その計算では次のことなどに注意。



ただし、k=(k、k、k)である。

P2 ( 光のドップラー効果 )

特定の振動数νをもつ光を放出する光源があるとする。

一定速度 V で遠ざかる測定器(これは光の振動数を測る)があるとする。

このとき、測定される振動数ν’は、

証明

慣性系 O において波数 k=|k|で x 軸方向に伝播する電磁波を考える。

電磁波は次のように表せる。(※P1)



慣性系 O’は O に対して x 軸方向に速度 v で運動しているとする。

よく知られているように、この場合の電場と磁場の変換則は、



また、(x軸方向の)ローレンツ変換は、



よって、







つまり、



つまり、



よって、次が成り立つ。(※復習:分散関係)

参考 ( ド・ブロイ関係式の4元化 )

次のように定義する。



つまり、ド・ブロイの関係式は、

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、特殊相対性理論は 「 ローレンツ変換 」 を基礎としていることについて説明する。

O(ct、x、y、z)を慣性系とする。

O’(ct’、x’、y’、z’) を O に対して x 軸方向に速度 V で運動している慣性系とする。

このとき、次が成り立つ。



これを 『 (x軸方向の)ローレンツ変換 』 という。

これは光速度不変性を要請することで導出できる。(ここでは詳細は省略する)

既に確認したように、波動方程式の解として次を採用できる。



そこで、ωt−k・r をローレンツ変換してみよう。

すると、



ここで、次のようにおく。



すると、



つまり、波数ベクトル k がローレンツ変換を満たすように4次元に書き換えた。

これを 「 4元化 」 という。

同様に、特殊相対論では運動量や力を四元化する。