ディラック方程式の表示(ディラック表示、カイラル表示、マヨラナ表示)

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参考 ( 概要 )

ディラック方程式は複数の表示をもつ。

その読み替えは容易だが、これによって入門者が迷う可能性もある。

そこで、このページではディラック方程式の表示を簡単に紹介する。

ディラック方程式の理論や各表示の意味は別ページで詳しく議論する。

注意 ( 自然単位系 )

相対論的量子力学では次のように規約することが多い。



これを 『 自然単位系 』 という。

自然単位系を採用する本が多い。

ただし、議論の序盤では自然単位系を用いないこともある。

注意 ( ∂μ

次のように記号を定める。



参考 ( ディラック方程式 )

次の方程式を 『 ディラック方程式 』 という。



ただし、

ψ(x)の x は xμ=(ct、x、y、z)の略記である。

{A、B}=AB+BA を 『 反交換子 』 という。

ちなみに、[A、B]=AB−BA を 『 交換子 』 という。

上記のディラック方程式は自然単位系で表示されている。

自然単位系を用いずに表すと、

反交換関係 {γμ、γν}=2ημν を満たすγμは一意ではない。

実際、以下で紹介するように 『 ディラック表示 』、『 カイラル表示 』、『 マヨラナ表示 』 がある。

これらはいずれも4次行列である。

さらに、これらの表示は次のようなエルミート性を共通してもつ。

参考 ( ディラック表示 )

γとして次を採用できる。

ただし、Iは2次単位行列である。

また、σはパウリ行列である。

つまり、



明らかに、



{A、B}=AB+BA を 『 反交換子 』 という。

[A、B]=AB−BA を 『 交換子 』 という。

また、εijk を 『 交代記号(エディントンのイプシロン)』 という。

参考 ( カイラル表示 )

γとして次を採用できる。



これらをまとめて次のように表すこともできる。



このような表示を 『 カイラル表示 』 という。

参考 ( マヨラナ表示 )

γとして次を採用できる。



このような表示を 『 マヨラナ表示 』 という。

参考 ( 複数の表示があることの利点 )

以上で確認したように、γ行列は一意的ではない。

議論の目的に応じて適切な表示を選ぶことが大切である。

現在(2017年)に注目されている問題として 『 ニュートリノの質量起源 』 がある。

実験によると、ニュートリノは微小な質量をもつ。

しかし、その質量の起源がカイラル質量とマヨラナ質量のどちらによるものか決定されていない。

カイラル条件とマヨラナ条件の存在条件は 『 時空の次元 』 に依存する。

実は、2つの条件を同時に適用できる次元は D=2+8n であることが知られている。

ただし n は 0 または正の整数である。

これは超弦理論が10次元で定義されることに強く関連する。