ディラック方程式のローレンツ共変性(リー代数による説明)

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復習 ( スピノルの変換 )

ディラック方程式は、



ψはローレンツ変換に対してψ’(x’)=S(∧)ψ(x)のように線形変換されると仮定する。

ここで、ディラック方程式にローレンツ共変性を要請する。

すると、



上式を満たすS(∧)は次のように表される。



ただし、



このようなS(∧)を 『 ∧に伴うスピノルの変換行列 』 という。

S(∧)の存在はディラック方程式がローレンツ共変性をもつことを意味する。

なぜなら、S(∧)の存在は方程式が矛盾なく変換されることを意味するからである。

以上のことは別ページで示した。

このページではリー代数の観点から上記ことを見直す。

定義 ( 指数関数行列 )

X を n 次行列とする。

次のように定義する。



このとき、exp(X)を 『 Xの指数関数 』 という。

定義 ( 行列の微分 )

A(t)=[aij(t)]を行列とする。

次のように定義する。



このとき、dA(t)/dt を 『 Aの微分 』 という。

P1 ( 行列指数関数の微分 )

次が成り立つ。



(1)の証明

次のように計算できる。



最後の計算では A と tA が可換であることによる。

(2)の証明

B(t)=etABe−tA とおく。

いま、dB(t)/dt=AetABe−tA−etABe−tAA=[A、B(t)] である。

また、dB(t)/dt=[A、dB(t)/dt]=[A、[A、B(t)]] である。

また、dB(t)/dt=[A、、[A、[A、B(t)]]] である。

一方、B(t)を t=0 まわりでテイラー展開すると、



よって、

定義 ( リー代数 )

G を群とする。

ある行列 A が存在して exp(tA)∈G となるとする。

このような A 全体を 『 Gのリー代数 』 という。

P2 ( リー代数の性質 )

(1) リー代数はベクトル空間である。

(2) リー代数は交換子積に関して閉じている。

補足

(2)は 「 A、B∈L ⇒ [A、B]∈L 」 を意味する。

(1)の証明

L を G のリー代数とする。

いま、A∈L ⇔ exp(tA)∈G である。

よって、任意の実数 a に対して exp(tA)∈G である。

よって、任意の実数 a に対して aA∈L である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A、B∈L とおく。

いま、etA、etB∈G である。

よって、etAtB∈G である。

一方、|t|<<1 とすると、



よって、et(A+B)∈G である。

よって、t(A+B)∈L である。(★2)

(★1)と(★2)より、L はベクトル空間である。

(2)の証明

A、B∈L とおく。

いま、e±tA、e±tB∈G である。

よって、etAtB−tA−tB∈G である。

一方、|t|<<1 とすると、



つまり、exp(t[A、B])∈G である。

つまり、[A、B]∈L である。

P3 ( スピノルの変換行列のリー代数による表現 )

L を群 G のリー代数とする。

B∈L とおく。

φ:L→L を φ(A)=etBAe−tB で定める。

(1) φは線形変換である。

(2) t=0 からの無限小変位 δt に対して φδt(A)=A+[B、A]δt+O((δt)) である。

補足

復習(スピノルの変換)で確認したように、





一方、微小ローレンツ変換は、



実際、



(*1)と(*3)と今回の定理を比較すると、



微小変位では、



よって、



これは定理の式(2)を意味する。

(1)の証明

P1より、



よって、φ(A)∈L である。(※P2)

また、L はベクトル空間である。(※P2)

(2)の証明

(1)の証明で示した式より明らかである。