ディラック方程式の導出

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) クライン-ゴルドン方程式の導出

(2) クライン-ゴルドン方程式の欠点

(3) ディラック方程式の導出

(4) ディラック方程式の利点

要請 ( 相対論的量子力学の要請 )

相対論的量子力学の基礎方程式に対して次を要請する。

(RQ1) ローレンツ共変性

(RQ2) 自由粒子は4元運動量の関係式 ( E=|p+m ) を満たす。

(RQ3) 確率密度は非負である。

注意 ( 自然単位系 )

相対論的量子力学では次のように規約することが多い。



これを 『 自然単位系 』 という。

以下、クライン-ゴルドン方程式を導出した後で自然単位系を採用する。

復習 ( 量子化 )

古典力学において自由粒子のエネルギーは E=|p/(2m)と表される。

ここで、次のような置き換えを行う。



すると、



これはシュレディンガー方程式(自由粒子ver)である。

このような方法を 『 量子化 』 という。

ちなみに、他には 「 正準量子化 」、「 経路積分量子化 」、「 確率過程量子化 」 などがある。

とくに 「 正準量子化 」 は量子場の量子化として基本的である。

復習 ( 4元運動量 )

次のように定義する。







このとき、u を 『 4元速度 』 といい、a を 『 4元加速度 』 といい、p を 『 4元運動量 』 という。

γは 『 ローレンツ因子 』 と呼ばれる。

量子場理論にはγ行列が登場するが、意味は別である。

復習 ( 静止質量、相対論的運動エネルギー )

次のように定義する。



すると、m は v=0 のときの質量 m と見なせる。

そこで、m を 『 静止質量 』 という。

また、E を 『 相対論的運動エネルギー 』 という。

この式はエネルギーと質量を結び付けている。

v=0 とすると、E=m となる。

これはアインシュタインの相対性理論を代表する式として有名である。

復習 ( エネルギーと質量の関係式 )

E を相対論的エネルギーとする。( 質量は m で、運動量は p であるとする )

このとき、次が成り立つ。

定義 ( 添字の上げ下げ )

次のように定める。

つまり、ημνは添字を上げ下げする。

ただし、ημνはミンコフスキ計量である。

つまり、

注意

次のように記号を定める。



例えば、∂μ∂xμ=4 である。

これにより、波動方程式はシンプルに ∂μ∂xμφ=0 と表せる。

μ∂xμ を □ と表すこともある。

この □ を 『 ダランベルシアン 』 という。

P1 ( クライン-ゴルドン方程式 )

要請(RQ2)より、次を得る。

補足

よく知られているように、ダランベルシアン □ はローレンツ変換に対して不変である。( つまり□=□’である )

つまり、クライン-ゴルドン方程式はローレンツ共変である。

証明

4元運動量は、



μ と pμ に対応する演算子は次のように表される。(※復習:量子化)





いま、



また、



よって、

参考 ( シュレディンガー方程式の確率解釈 )

シュレディンガー方程式から次が得られる。



ただし、





また、(1)から次が得られる。

補足

(4)は(1)のみから得られることに注意。

補足

(2)のρを 『 確率密度 』 という。

(3)の j を 『 確率流密度 』 という。

むろん、ρ≧0 である。

つまり、シュレディンガー方程式は確率密度非負性(RQ3)を満たしている。

補足

(1)を 『 保存則(微分ver)』 である。

(4)を 『 保存則(積分ver)』 である。

今回は 『 確率の保存 』 を意味する。

流体力学では(1)は 『 質量保存則 』 として現れる。

(1)〜(3)の証明

シュレディンガー方程式(とその複素共役)より明らかである。

つまり、

(4)の証明

(1)より、次のように計算できる。(※ガウス発散定理)



ただし、最後の計算では V→∞ として無限遠(|x|→∞)で j→0 となることを用いた。

P2 ( クライン-ゴルドン方程式の欠点 )

(1) クライン-ゴルドン方程式は確率密度非負性(RQ3)を満たさない。

(2) クライン-ゴルドン方程式は負エネルギー解をもつ。

補足

ちなみに、クライン-ゴルドン方程式はローレンツ共変性をもつ。

このことは明らかである。

実際、よく知られているように□はローレンツ変換に対して不変である。

クライン-ゴルドン方程式は、ローレンツ共変性を満たす式として最も基本的である。

(1)の証明

シュレディンガー方程式に対して次が成り立つ。(※復習:シュレディンガー方程式の確率解釈)







この(*3)を 『 確率流密度 』 として解釈できる理由は(*1)が成り立つことによる。

しかし、保存則(*1)はクライン-ゴルドン方程式に対して成り立たない。

なぜなら、クライン-ゴルドン方程式は ∂ψ/∂t のみをもつからである。

実際、定義ρ=|ψ| の微分∂ρ/∂t の計算に現れる ∂ψ/∂t と ∂ψ/∂t を活用できない。

つまり、微分の階数がズレている。

そこで、ρを次のように再定義する。



すると、(*2)を保持しながら(*1)が満たされる。

しかし、上記の議論でクライン-ゴルドン方程式が要請(RQ3)を満たすことはできない。

実際、クライン-ゴルドン方程式は ∂/∂t のみをもつので初期条件でψと∂ψ/∂t は自由である。

つまり、ρは負の値をとる可能性をもつ。

これは定義 ρ=|ψ| を捨てたことによる弊害である。

(2)の証明

ψ(x、t)=A(p)exp(−ipx) とおく。

ただし、px:=pμμ=Et−p・x である。

つまり、pμ=(E、p)、xμ=(t、x)である。

ψ(x、t)をクライン-ゴルドン方程式(□+m)ψ(x、t)=0 に代入する。

すると、E=±√(|p+m)である。

つまり、クライン-ゴルドン方程式の解として次を採用できる。



前者は E>0 だが、後者は E<0 である。

明らかに、後者は物理的に不適切である。

なぜなら、この2つは独立な解であり、一般解はこれら2つの1次結合で表されるからである。

P3 ( ディラック方程式の導出 )

まず、クライン-ゴルドン方程式を仮定する。



さらに、次の式を仮定する。



このとき、条件(2)を満たすαとβとして次を採用できる。



条件(1)と(2)を合わせると、



つまり、



自然単位系によって表すと、



これを 『 ディラック方程式 』 という。

補足

ただし、Iは2次単位行列である。

また、σ はパウリ行列である。

補足

つまり、α、α、α、βは4次行列である。

また、これらを満たす量としてスカラー、2次行列、3次行列を選ぶことはできない。

このことは以下で示される。

補足

明らかに、α、α、α、βはエルミートである。

ゆえに、ハミルトニアンのエルミート性も保障される。

補足

むろん、ψ(t、x)は4成分をもつ量である。

つまり、



実は、ψは 『 ディラックスピノル 』 という量であり、4元ベクトルと異なる性質をもつ。

証明

条件(2)を t で微分すると、



条件(1)と比較すると、



ただし、置き換え ∇→− を行った。

一方、



ただし、{・、・}は反交換子である。( つまり {A、B}=AB+BA である )

(*1)と(*2)を比較すると、



つまり、



条件(*3)を満たすスカラーは明らかに存在しない。

条件(*3)を満たす2次行列は存在しない。(★1)

条件(*3)を満たす3次行列は存在しない。(★2)

一方、次の4次行列は条件(*3)を満たす。

(★1)の証明

条件(*3)を2次行列の形で表すと、



(**3)の第1式を満たす2次行列α としてパウリ行列を採用できる。



しかし、第1式と第2式を満たすβは明らかに存在しない。

また、パウリ行列はベクトルとして1次独立である。

よって、条件(**3)を満たす2次行列は存在しない。

(★2)の証明

α の固有値を a とし、固有ベクトルを v とする。

β の固有値を b とし、固有ベクトルを w とする。

いま、α=a である。

また、β=b である。

(*3)より、α=β=I である。

よって、a=b=1 である。

よって、a=±1、b=±1 である。

いま、αとβはエルミート行列でなければならない。

よって、αとβは対角化可能である。

また、αとβを対角化すると、その対角成分は固有値(つまり+1または−1)になる。

いま、条件(*3)より、αβ=−βα であり、α=β=I である。

また、一般に Tr(ABC)=Tr(CAB) である。( ちなみに、対角化に対してトレースは不変である )

以上により、Trα=Tr(αβ)=−Tr(βαβ)=−Tr(βα)=−Tr(α)である。

よって、Trα=0 である。

同様に、Trβ=0 である。

よって、条件(*3)を満たす3次行列は存在しない。(※±1を3回足しても0にならない)

P4 ( ディラック方程式の利点 )

(1) ディラック方程式は(RQ1)を満たす。

(2) ディラック方程式は(RQ2)を満たす。

(3) ディラック方程式は(RQ3)を満たす。

(4) ディラック方程式は負エネルギー解をもつ。

補足

つまり、ディラック方程式の確率密度は非負である。

つまり、ディラック方程式はクライン-ゴルドン方程式の欠点を解決している。

ただし、負エネルギー解をもつという欠点はディラック方程式にも遺伝している。

ただし、これは 『 ディラックの海 』 という解釈によって解決できる。

つまり、実質的には負エネルギー解も解決している。

(1)の証明

これは別ページで議論する。

(2)の証明

クライン-ゴルドン方程式は要請(RQ2)から導かれた。(※P1)

また、ディラック方程式はクライン-ゴルドン方程式を仮定して導かれた。(※P2)

よって、ディラック方程式は(RQ2)を満たす。

ちなみに、既に述べたように、クライン-ゴルドン方程式は(RQ1)を満たす。

ゆえに、「 今回の論法をそのまま(RQ1)に適用できるのでは?」 と考える人がいるかもしれない。

しかし、これは不適切である。

なぜなら、(RQ2)は波動方程式の条件だが、(RQ1)は方程式の変換則だからである。

(3)の証明

ρ=|ψ|=ψψの自然な拡張としてρ=ψψ=1≦i≦4ψψ≧0 を考える。

そこで、ρ(t、x)=ψ(t、x)ψ(t、x)を仮定する。

これが保存則(微分ver)を満たせば(RQ3)を示したことになる。

いま、



よって、



よって、



ここで、確率流密度を j(t、x)=ψ(t、x)αψ(t、x)と解釈する。

すると、



これは(確率)保存則である。

(4)の証明

ディラック方程式について平面波の一般形は ψ(t、x)=w(p)exp(−ipx) と表せる。

ただし、w(p)は x に依存しないスピノルである。

これをディラック方程式に代入すると、(E−α・p−mβ)w(p)=0 である。

この方程式が0以外の解をもつための条件は det(E−α・p−mβ)=0 である。(※線形代数)

つまり、



ここで、pの向きに z 軸をとる。

いま、p=(0、0、p)と表せる。

よって、



余因子展開すると、



つまり、



つまり、