ディラック方程式のローレンツ共変性(直接的証明)

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注意 ( 自然単位系 )

相対論的量子力学では次のように規約することが多い。



これを 『 自然単位系 』 という。

復習 ( エネルギーと質量の関係式 )

E を相対論的エネルギーとする。( 質量は m で、運動量は p であるとする )

このとき、次が成り立つ。

定義 ( 添字の上げ下げ )

次のように定める。

つまり、ημνは添字を上げ下げする。

ただし、ημνはミンコフスキ計量である。

つまり、

よく知られているように、4元運動量は p=(E/c、p) と表される。

これを自然単位系で表すと、p=(E、p) となる。

よって、pμμ=E−|p である。

復習 ( ディラック方程式 )

電子を記述する相対論的方程式を探してみよう。

まず、次の相対論的関係式に注目する。



ここで、量子化を行う。

つまり、次のような置き換えを行う。



すると、



つまり、



これを 『 クライン-ゴルドン方程式 』 という。

しかし、この方程式は 「 確率密度が負になる 」 という欠点をもつ。

その根本的な原因はクライン-ゴルドン方程式が時間に関する2階微分∂/∂t をもつことによる。

そこで、この ∂/∂t を ∂/∂t にしたい。

むろん、工夫なしに置き換えると相対論的関係式が壊れてしまう。

そこで、相対論的関係式を次のように因数分解する。



量子化を行うと、





実は、(*1)と(*2)は等価である。

とくに、(*1)を 『 ディラック方程式 』 という。

γμ を 『 γ行列 』 という。

明らかに、次が成り立つ。

(1) {γμ、γν}=2ημνI ( ただし、{A、B}=AB+BA は反交換子積と呼ばれる記号である )

(2) γ はエルミートである。( つまりγ=γ

(3) γ は反エルミートである。( つまりγ=−γ

(*1)と(*2)が等価であることを示す。

γ=iγγγγ と定義する。

いま、γγμ=−γμγ (μ=0、1、2、3)である。

(*1)の左からγを掛ける。

すると、(iγμμ+m)γψ=0 である。

このγψを改めてγと表すと、これは(*2)に一致する。

復習 ( γ行列の基本定理 )

γμをγ行列とする。

γμ’=∧γμをγのローレンツ変換とする。

このとき、あるユニタリ行列 U が存在して γ’μ=UγμU となる。

また、このような U は成分全体のスカラー倍を除いて一意である。

むろん、Uγ’μ=γμU である。(※U=U−1

定義 ( 指数関数行列 )

X を正方行列とする。

次のように定義する。



このとき、exp(X)を 『 Xの指数関数 』 という。

P* ( ディラック方程式のローレンツ共変性 )

ψ(x)をディラック粒子とする。

ψ(x)はローレンツ変換に対してψ’(x’)=S(∧)ψ(x)のように線形変換されると仮定する。(★1)

ディラック方程式のローレンツ共変性を要請する。(★2)

このとき、



上式を満たすS(∧)は次のように表される。



ただし、



このようなS(∧)を 『 ∧に伴うスピノルの変換行列 』 という。

補足

仮定(★1)を満たす行列S(∧)の存在はディラック方程式のローレンツ共変性を意味する。

なぜなら、S(∧)の存在は方程式が矛盾なく変換されることを意味するからである。

補足

空間反転に関する共変性も同様に示される。

補足

微小変化の場合、2次以上の項は無視できるので、



また、逆行列は、

補足

S(∧)と∧はいずれも4次行列である。

ただし、S(∧)はψに作用し、∧は4元ベクトルに作用する。

よって、これらの計算は可換である。

行列と行列の積は可換ではないが、行列とベクトルの積はつねに可換であることに注意。

(1)の証明

いま、ψ(x)=S−1(∧)ψ’(x’)=S−1(∧)ψ’(∧x)である。(★3)

また、xμ=(∧−1μνx’νである。

よって、ψ(x)=S(∧−1)ψ’(x’)=S(∧−1)ψ’(∧x)である。(★4)

(★3)と(★4)より、S−1(∧)=S(∧−1)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ディラック方程式は、



上式をローレンツ変換する。

すると、要請(★2)より、次を得る。



上式に左から U を掛け、ψ’(x’)=Uψ(x’)とおく。

すると、次を得る。(復習(γ行列の基本定理)の補足)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)の両辺に左からS(∧)を掛けると、



ただし、上の計算では次のことを用いた。



(*3)と(*4)を比較すると、S(∧)γμ−1(∧)∧νμ=γν である。

つまり、∧νμγμ=S−1(∧)γνS(∧)である。

(2)の証明

任意のローレンツ変換は無限小変換の積み重ねとして表される。

よって、議論を無限小に限定しても一般性を失わない。

無限小ローレンツ変換は∧μν=δμν+εμνの形で表される。

実際、ημνμανβ=ημν(δμα+εμα)(δνβ+ενβ)=ηαβ+O(ε)である。

νμ=δνμ+Δωνμ を無限小ローレンツ変換とする。(★1)

つまり、x’μ=xμ+Δωνμν である。

よって、δμνx’μx’ν=δμνμν+(Δωμν+Δωνμ)xμν である。

一方、ημνx’μx’ν=ημνμνである。(※ローレンツ変換に対するミンコフスキ内積の不変性)

よって、Δωμν=−Δωνμ である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、S(∧)=I−(i/4)σμνΔωμνである。(※S(∧)をΔωμνで1次まで展開)(★3)

また、S−1(∧)=I+(i/4)σμνΔωμνである。(※S−1(∧)をΔωμνで1次まで展開)(★4)

(★1)、(★3)、(★4)を、(1)に代入する。

左辺は∧νμγμ=γν+Δωνμγμである。

右辺は S−1(∧)γνS(∧)=γν+(i/4)Δωαβσαβγν−(i/4)γνΔωαβσαβ である。

よって、Δωνμγμ=(i/4)Δωαβ[σαβ、γν]である。(★5)

(★5)を満たすσαβとしてσαβ=(i/2)[γα、γβ]を採用できる。(★6)

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以上、(★6)を示す。

いま、{γμ、γν}=2ημνI である。(※復習(ディラック方程式)の補足)(★7)

また、[ηαβI、γν]=0 である。(★8)

また、γαγβ+γβγα=2δβαI である。(★9)

(★7)より、



よって、(★8)と(★9)より、



これで(★6)が示された。

いま、



同様に、